Dimostrazione alternativa al Teorema dell'Asintoto negli Studi Qualitativi

[Cotralspa]

Salve a tutti, avrei una domanda da farvi...oggi stavo riprendendo in mano gli Studi Qualitativi dopo qualche tempo ed in particolare il Teorema dell'Asintoto $ IsubR, I = [x,oo[, yin C(I)" soluzione di (PC)",EE lim_(x -> oo) y(x)=linR, EE lim_(x -> oo) y'(x)=m => m=0 $

Il teorema viene dimostrato sfruttando il Teorema di Lagrange, ma per me la tesi è molto più ovvia ragionando con la funzione "rapporto incrementale" rivista in 2 variabili:
$ R(x,h)= (y(x+h)-y(x))/h $

La funzione y di cui stiamo parlando è $ C(I) $ ma ho supposto che $ EE lim_(x -> oo) y'(x)=m $ e quindi ha senso fare il limite (dato che esiste). Allora posso fare il $ lim_((x,h) -> (oo,0))R(x,h)=lim_(x -> oo)( lim_(h -> 0) (y(x+h)-y(x))/h)=lim_(h -> 0)( lim_(x -> oo) (y(x+h)-y(x))/h)=0=lim_(x ->oo) y'(x) $

Vorrei qualche giudizio esterno!

Grazie mille

[gugo82]

"Cotralspa":La funzione y di cui stiamo parlando è $ C(I) $ ma ho supposto che $ EE lim_(x -> oo) y'(x)=m $ e quindi ha senso fare il limite (dato che esiste). Allora posso fare il $ lim_((x,h) -> (oo,0))R(x,h)=lim_(x -> oo)( lim_(h -> 0) (y(x+h)-y(x))/h)=lim_(h -> 0)( lim_(x -> oo) (y(x+h)-y(x))/h)=0=lim_(x ->oo) y'(x) $

L'ipotesi da cui parti è:
\[
\lim_{x\to \infty} \lim_{h\to 0} \frac{y(x+h)-y(x)}{h} = m\; ,
\]
quindi dovresti giustificare l'inversione dei limiti.

[Cotralspa]

Pensavo di giustificarlo dicendo che la R(x,h) è continua nel suo dominio essendo composizione di funzioni continue (y e 1/h)

[gugo82]

Non ti basta.
Per invertire due limiti serve, ad esempio, l'uniformità del limite rispetto ad una delle due variabili... Lo stesso accade, ad esempio, per lo scambio dei limiti per successioni di funzioni.