Dimostrazione additività numerabile
Salve a tutti,
Ho questa proprietà da dimostrare: Sia M una $\sigma$-algebra e $\mu$ una misura su essa che sia monotona, subadditiva e finitamente additiva. Dimostrare allora che è $\sigma$-additiva.
Non so bene da che parte iniziare, sfruttando la monotonia e la additività numerabile arrivo a scrivere:
$\sum_{n=1}^N \mu(A_n) = \mu(\uuu_{n=1}^N A_n) \le \mu(\uuu_{n=1}^\infty A_n) \le \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)$
E poi non so come procedere!
Grazie in anticipo
Ho questa proprietà da dimostrare: Sia M una $\sigma$-algebra e $\mu$ una misura su essa che sia monotona, subadditiva e finitamente additiva. Dimostrare allora che è $\sigma$-additiva.
Non so bene da che parte iniziare, sfruttando la monotonia e la additività numerabile arrivo a scrivere:
$\sum_{n=1}^N \mu(A_n) = \mu(\uuu_{n=1}^N A_n) \le \mu(\uuu_{n=1}^\infty A_n) \le \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)$
E poi non so come procedere!
Grazie in anticipo
Risposte
Sono arrivato a scrivere questo, ma vorrei la vostra opinione.
Per la subadditività, basta dimostrare che $\mu(\uuu^\infty A_n) \ge \sum^\infty \mu(A_n)$ così da avere l'asserto.
Sfruttando la monotonia e l'additività numerabile si ha:
$\mu(\uuu^\infty A_n) \ge \mu(\uuu^N A_n) = \sum^N \mu(A_n)$
Poi vorrei semplicemente dire che anche facendo tendere $N$ a infinito, la disuguaglianza rimane valida e terminare così la dimostrazione. Posso farlo?
Per la subadditività, basta dimostrare che $\mu(\uuu^\infty A_n) \ge \sum^\infty \mu(A_n)$ così da avere l'asserto.
Sfruttando la monotonia e l'additività numerabile si ha:
$\mu(\uuu^\infty A_n) \ge \mu(\uuu^N A_n) = \sum^N \mu(A_n)$
Poi vorrei semplicemente dire che anche facendo tendere $N$ a infinito, la disuguaglianza rimane valida e terminare così la dimostrazione. Posso farlo?
Mi pare che vada bene.
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