Dimostrazione: \((a_n)\) é limitata \(\leftrightarrow\) \(\exists M>0 \, \forall n \in \Bbb{N} : |a_n| \leq M\)

[Noris1]

devo dimostrare la proprietá, con \((a_n)\) successione:

\((a_n)\) é limitata \(\leftrightarrow\) \(\exists M>0 \, \forall n \in \Bbb{N} : |a_n| \leq M\)

il verso \(\leftarrow\) é banale e inutile scriverlo, dimostro il verso \(\rightarrow\).
Noi sappiamo che \((a_n)\) é limitata, quindi esiste maggiorante \(h \in \Bbb{R}\) e minorante \(k \in \Bbb{R}\) per l´immagine, ció significa \(\forall n \in \Bbb{N}: k \leq a_n \leq h\), ció significa anche che \(k \leq h \). Personalmente ho deciso di proseguire in questo modo, ovvero analizzando i vari unici possibili casi, 3 solo, sapendo che \(k \leq h\), cioé

\( 0 \leq k \leq h\)
\(k \leq h \leq 0\)
\(k\leq 0 \leq h\)

Nel primo caso: se \( k\leq h\) allora \(-h\leq -k\) ed essendo \(0 \leq k\) allora \(-k\leq 0\), quindi riassumendo \(-h\leq -k \leq 0 \leq k \leq a_n \leq h \) ovvero anche \(-h \leq a_n \leq h \) ergo per definizione \(|a_n|\leq h \) (ed \(0\leq h\) come detto prima)
Nel secondo caso: anche qui se \( k\leq h\) allora \(-h\leq -k\), ma essendo \(h \leq 0\) allora \(0 \leq -h\), quindi riassumendo \(k \leq a_n \leq h \leq 0 \leq -h \leq -k\) ovvero anche \(k \leq a_n \leq -k \) ergo per definizione \(|a_n|\leq -k \) (ed \(0 \leq -k\) come detto prima)
Nel terzo caso: se \(k \leq 0\) allora \(0\leq -k\) ed se \(0 \leq h\) allora \(-h \leq 0\), inoltre \(\Bbb{R}\) é campo ordinato ergo se \(0 \leq -k\) allora \(h=0+h \leq -k + h\) ed se \(-h \leq 0\) allora \(-h +k \leq 0 +k=k\), quindi riassumendo \(-h +k \leq k \leq a_n \leq h \leq -k +h \) ovvero anche \(-(h -k) \leq k \leq a_n \leq h \leq h - k\) ergo per definizione \( |a_n| \leq h-k\) (ed \(0 \leq h-k)\) come detto prima)

Vorrei una conferma sul procedere, dato che sono cose nei confronti delle quali penso diversamente rispetto ad un approccio fondazionale, e se corretta é, l´unica cosa che mi lascia non tanto perplesso quanto incredulo é il non capire perché abbia, intutivamente, pensato di adottare i tre casi anche se mi sembra di non fare erroneamente (cioé quale piccola proprietá dei reali si cela dietro?).
Inoltre noto, ed é un qualcosa di mentalmente intuitivo, e solo alla fine della terzo caso, che potevo fare come nel terzo anche nel primo e secondo caso, oppure passare per valori assoluti nel terzo caso e prendere quello maggiore come \(M\)... Addirittura considerare per tutti i tre casi il \(\operatorname{max}(\{|h|,|k|\})\) come \(M\), é possibile? Se si, qualcuno puó farmi vedere come cortesemente? Il topic é anche, se volete, per accogliere qualche proof alternativa

[G.D.5]

Secondo me non serve procedere per casi. Per ipotesi è \( \forall n \in \mathbb{N}, h \leq a_{n} \leq k \): allora preso \( M \geq \max \left \{ \lvert h \rvert, \lvert k \rvert \right \} \) risulta \( -M \leq h \leq k \leq M \), sicché \( \forall n \in \mathbb{N}, -M \leq a_{n} \leq M \) che è la tesi.

P.S.
All'inizio hai usato un \( \geq \) al posto di un \( \leq \).

[gugo82]

@Noris: Il post di G.D. è un esempio della "concretezza" che richiamavo altrove.

[Noris1]

"G.D.":
P.S.
All'inizio hai usato un \( \geq \) al posto di un \( \leq \).

ops.. corretto (ho confuso i codici latex)

"G.D.":
econdo me non serve procedere per casi. Per ipotesi è \( \forall n \in \mathbb{N}, h \leq a_{n} \leq k \): allora preso \( M \geq \max \left \{ \lvert h \rvert, \lvert k \rvert \right \} \) risulta \( -M \leq h \leq k \leq M \), sicché \( \forall n \in \mathbb{N}, -M \leq a_{n} \leq M \) che è la tesi.

capisco la tua proof, mi chiedo perché prendi un \(M \geq \max(\{|h|,|k|\})\)? Scusa per la domanda stupida, intutivamente é ovvio che esiste un simile \(M\) ma cerco di capire il perché basilare scendendo nei dettagli quando possibile (nel mio testo dice semplice "é vera, basta scegliere \(M=|h| + |k|\)" ma preferisco sempre ricavarmele io le proof e capire piuttosto che imparare a memoria), cioé io avrei ragionato in questo modo sfruttando il massimo, anche perché stamani, ripassando in conlcusione il capitolo delle succesisoni e ripensando alla mia proof, ho notato che non ho restituito in tutti i tre casi un \(M >0\) (se penso un attimo ad esempio ad una successione nulla non é completata la mia proof se prendo lecitamente \(0\)):

considerando \(m=\max(\{|h|,|k|\})\) ovviamente ho che \(|h| \leq m\) ed \(|k| \leq m\), ergo anche \( h \leq |h| \) ed \(-h \leq |h|\) con \(k \leq |k| \) e \(-k \leq |k|\) (il tutto avendo sempre che \(h \leq a_n \leq k\) ergo \(h \leq k\)).
Subito partendo da \(k \leq |k| \) scrivo la seguente catena \(h \leq a_n \leq k \leq |k| \leq m \).
Banalmente si nota da \(-h \leq |h|\) e \( |h| \leq m\) che, rispettivamente, \(-|h| \leq h\) e \( -m \leq -|h|\), allora scrivo questa altra catena \(- m \leq -|h| \leq h \leq a_n \leq k\).
Arrivati a questo punto, so che \(0 \leq m=\max(\{|h|,|k|\})\) e sfruttando Archimede esiste nei reali un intero \(M\) tale che \(m
p.s.= devo ammetterlo, se é tutto corretto é stato divertente seppure banale..

[G.D.5]

"Noris":
capisco la tua proof, mi chiedo perché prendi un \(M \geq \max(\{|h|,|k|\})\)? Scusa per la domanda stupida, intuitivamente è ovvio che esiste un simile \(M\) ma cerco di capire il perché basilare scendendo nei dettagli quando possibile (nel mio testo dice semplice "è vera, basta scegliere \(M=|h| + |k|\)" ma preferisco sempre ricavarmele io le proof e capire piuttosto che imparare a memoria)

La domanda qual è? A che scopo ho preso un numero reale \( M \) non minore del massimo dell'insieme \( \left \{ \lvert h \rvert, \lvert k \rvert \right \} \), oppure cosa garantisce che tale numero reale esiste?

Innanzitutto, per quanto possa essere intuitivamente ovvio, il fatto che esiste \( \max \left \{ \lvert h \rvert, \lvert k \rvert \right \} \) andrebbe dimostrato. Più in generale andrebbe dimostrato che, dato un qualunque insieme ordinato \( \left ( S, \leq \right ) \), se \( X \subseteq S \) è finito, allora \( X \) ammette massimo e minimo. Dovreste averlo dimostrato in generlale quando avete trattato gli insiemi ordinati o per lo meno, limitatamente a \( \mathbb{R} \), quando avete trattato l'ordinamento di \( \mathbb{R} \). In ogni caso la prova è semplice e si produce per induzione sul numero di elementi di \( X \).

Il fatto che esista un numero reale \( M \) maggiore del suddetto massimo è invece dovuto al fatto che \( \mathbb{R} \) non è limitato.

Il motivo per il quale prendo un siffatto numero reale \( M \) è semplice: sapendo che \( \forall n \in \mathbb{N}, h \leq a_{n} \leq k \), per poter scrivere \( \forall n \in \mathbb{N}, \lvert a_{n} \rvert \leq M \), mi occorre un \( M \) che sia maggiore di \( k \) e, cambiato di segno, minore di \( h \). Un qualunque numero reale non minore di \( \max \left \{ \lvert h \rvert, \lvert k \rvert \right \} \) è utile allo scopo.

Da notare una cosa: mentre il tuo testo indica esplicitamente un possibile valore di \( M \), io mi sono limitato ad indicare la proprietà che \( M \) deve soddisfare per essere utilizzabile. Il tuo testo ha adottato, almeno in questo caso, un approccio costruttivista per produrre la sua prova: ha cioè indicato esplicitamente come costruire \( M \).

"Noris":
considerando \(m=\max(\{|h|,|k|\})\) ovviamente ho che \(|h| \leq m\) ed \(|k| \leq m\), ergo anche \( h \leq |h| \) ed \(-h \leq |h|\) con \(k \leq |k| \) e \(-k \leq |k|\) (il tutto avendo sempre che \(h \leq a_n \leq k\) ergo \(h \leq k\)).
Subito partendo da \(k \leq |k| \) scrivo la seguente catena \(h \leq a_n \leq k \leq |k| \leq m \).
Banalmente si nota da \(-h \leq |h|\) e \( |h| \leq m\) che, rispettivamente, \(-|h| \leq h\) e \( -m \leq -|h|\), allora scrivo questa altra catena \(- m \leq -|h| \leq h \leq a_n \leq k\).
Arrivati a questo punto, so che \(0 \leq m=\max(\{|h|,|k|\})\) e sfruttando Archimede esiste nei reali un intero \(M\) tale che \(m

Questa catena di disuguaglianze è il motivo per il quale prendendo un numero reale \( M \geq \max \left \{ \lvert h \rvert, \lvert k \rvert \right \} \) (tale catena di disuguaglianze funziona a fortiori se \( M \) è maggiore del massimo), tale numero reale limita la successione superiormente e, cambiato di segno, inferiormente. Che poi è ciò che si vuole provare: si vuole infatti provare che se una successione è limitata superiormente da un numero reale ed inferiormente da un altro numero reale, allora esiste almeno un numero reale positivo che "da solo" la limita sia superiormente che inferiormente, nel senso che preso così com'è la limita superiormente e preso cambiato di segno la limita inferiormente. Questa catena di disuguaglianze spiega perché \( M \) è in grado di fare ciò.

Non capisco però cosa c'entri il fatto che \( \mathbb{R} \) è archimedeo.

[Noris1]

"G.D.":
A che scopo ho preso un numero reale \( M \) non minore del massimo dell'insieme \( \left \{ \lvert h \rvert, \lvert k \rvert \right \} \)

Nein

"G.D.":
oppure cosa garantisce che tale numero reale esiste?

Ja, a dire il vero ho supposto per assurdo, ovvero qualora non lo prendi tale avendo cosí che \(\Bbb{R}\) risulta limitato superiormente (assurdo)

"G.D.":
Innanzitutto, per quanto possa essere intuitivamente ovvio, il fatto che esiste \( \max \left \{ \lvert h \rvert, \lvert k \rvert \right \} \) andrebbe dimostrato. Più in generale andrebbe dimostrato che, dato un qualunque insieme ordinato \( \left ( S, \leq \right ) \), se \( X \subseteq S \) è finito, allora \( X \) ammette massimo e minimo. Dovreste averlo dimostrato in generlale quando avete trattato gli insiemi ordinati o per lo meno, limitatamente a \( \mathbb{R} \), quando avete trattato l'ordinamento di \( \mathbb{R} \). In ogni caso la prova è semplice e si produce per induzione sul numero di elementi di \( X \).

No dai, questo é ovvio, almeno per me, e non avrei mai detto prima, nel primo messaggio, la seguente:

"Noris":
... Addirittura considerare per tutti i tre casi il \( \operatorname{max}(\{|h|,|k|\}) \) come \( M \)...

non mi perdo in motivazioni di aspetti o costruzioni fondazionali sennó dovrei dire qualcosa anche sull´insieme coppia \(\{|h|,|g|\}\) con tanto di riferimento assiomatico bla bla (voglio e mi piace seguire il consiglio di gugo82), non é un corso di fondamenti e gli aspetti fondazionali che cerco di cogliere non sono questi ergo "pardon" se mi sono spiegato male... e quella proprietá sugli ordini dove un sottoinsieme finito (per gli ordinali) ammette massimo e minimo é stata da me affrontata e la proof é semplicissima (per induzione transfinita, poiché i cardinali non permettono di esprimere certe proprietá, ma ripeto non é fondamenti), e preciso che nei fondamenti l´unico insieme numerico che abbiamo usato é stato \(\Bbb{N}\), gli altri costruiti li ho visto in analisi...

"G.D.":
Il fatto che esista un numero reale \( M \) maggiore del suddetto massimo è invece dovuto al fatto che \( \mathbb{R} \) non è limitato.

ero arrivato a tale conlcusione per assurdo, ma dopo avere scritto la proof..

"G.D.":
Non capisco però cosa c'entri il fatto che \( \mathbb{R} \) è archimedeo.

intendo, siccome ogni passaggio, meinerseits, di una proof, qualora non fa riferimenti ad aspetti troppo fondazionali (come ad esempio quella proprietá sugli ordini e i sottoinsiemi finiti per ordinali), per me va giustificato e, ovviamente, se faccio riferimento al fatto che esiste \(M\) maggiore del massimo di quella coppia poiché \(\Bbb{R}\) non é limitato superiormente allora usare archimede non serve, é ridontante, ma io non ci ho fatto caso, se non solo dopo avere postato la proof, ergo me ne sono uscito, per il mio scopo della proof, usando Archimede (in effetti entrambe le motivazioni sono proprietá, o non posso usare Archimede qualora non faccio riferimento nella proof al fatto che l´insieme dei Reali non é limitato superiormente? Se ci penso un attimo, si potrebbe fare la medesima considerazione qualora non faccio riferimento al fatto che l´insieme dei Reali é archimedeo.. ) ovviamente correggimi qualora mi sfugge qualche piccolezza sui campi ordinati (completi) (archimedei)..

Wie dem auch sei, ich danke dir \(\infty\)! (ti ringrazio infinitamente)

[G.D.5]

Non è che sia vietato usare il fatto che \( \mathbb{R} \) è archimedeo: è una proprietà di \( \mathbb{R} \), quindi se serve, la si usa. Non è utile in questo caso perché \( M \) non è necessariamente un numero naturale.