Dimostrazione
Ciao, sto cercando di dimostrare che dati due punti $A=(a_1, a_2), B=(b_1,b_2) in R^3$ la traiettoria piú breve per unirli é il segmento $AB$. Pensavo di considerare una curva $gamma:[t_0,t_1] rightarrow R^2$ da $A$ a $B$ differenziabile tale che $gamma(t)=A Leftrightarrow t=t_0$ e $gamma(t)=B Leftrightarrow t=t_1$ e dimostrare che la lunghezza di $gamma$ é maggiore uguale alla distanza tra $A$ e $B$, ma non riesco, qualcuno mi aiuterebbe?
Risposte
io sarei partito considerando la lunghezza di una curva.
sia $Gamma$ una curva semplice. Una partizione di $Gamma$ è un insieme ordinato $F={x_1,...,x_n}$ di punti di $Gamma$ della forma $x_i=phi(t_i)$ con $i=1,..,n$ dove$phi:[a,b]->Gamma$ è una parametrizzazione di $Gamma$ e ${t_0=0,t_1,...,t_(n-1),t_n=1}$ è una partizione di $[a,b]$. sia $L_F(Gamma)$ la lunghezza della spezzata ottenuta congiungendo gli $x_i$
la lunghezza di $Gamma$ sarà: $L(Gamma)=Sup_FL_F(Gamma)$
quindi essendo la lunghezza di una curva il sup delle lunghezze delle spezzate di suoi punti, per trovare la "strada" più breve tra due punti basta considerare le spezzate con estremi i due punti, diventa poi facile vedere che la spezzata più corta è il segmento che li unisce.
all'inizio ero convinto, mano a mano che scrivevo ero sempre più titubante, comunque ecco cosa farei io (spero abbia senso) non è la strada che suggerivi tu ma meglio di questo non ho saputo fare
sia $Gamma$ una curva semplice. Una partizione di $Gamma$ è un insieme ordinato $F={x_1,...,x_n}$ di punti di $Gamma$ della forma $x_i=phi(t_i)$ con $i=1,..,n$ dove$phi:[a,b]->Gamma$ è una parametrizzazione di $Gamma$ e ${t_0=0,t_1,...,t_(n-1),t_n=1}$ è una partizione di $[a,b]$. sia $L_F(Gamma)$ la lunghezza della spezzata ottenuta congiungendo gli $x_i$
la lunghezza di $Gamma$ sarà: $L(Gamma)=Sup_FL_F(Gamma)$
quindi essendo la lunghezza di una curva il sup delle lunghezze delle spezzate di suoi punti, per trovare la "strada" più breve tra due punti basta considerare le spezzate con estremi i due punti, diventa poi facile vedere che la spezzata più corta è il segmento che li unisce.
all'inizio ero convinto, mano a mano che scrivevo ero sempre più titubante, comunque ecco cosa farei io (spero abbia senso) non è la strada che suggerivi tu ma meglio di questo non ho saputo fare
Certo, l'idea di Rubik e' corretta (se per traiettoria s'intende una curva). Infatti, dati due punti $x$ e $y$ in $RR^n$, e data una curva $\gamma : [a, b] \rightarrow RR^n$ tale che $\gamma(a) = x$, $\gamma(b) = y$, per lunghezza di $\gamma$ s'intende la quantita' $L(\gamma) = Sup { \sum_{i = 1}^k || \gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1}) || : k >= 1, a = t_0 < t_1 < \ldots < t_k = b }$, ed e' ovvio che $L(\gamma) >= ||\gamma(a) - \gamma(b)|| = ||x - y||$, che e' proprio la lunghezza del segmento di estremi $x$ e $y$.
Grazie delle risposte!
Forse mi confondevo col problema delle brachistocrone! Non so perché ero convinto si dovessero usare degli integrali nel calcolare la lunghezza di una curva generica... non riesco a capire...
Forse mi confondevo col problema delle brachistocrone! Non so perché ero convinto si dovessero usare degli integrali nel calcolare la lunghezza di una curva generica... non riesco a capire...
Scusate.. ma stavo pensando... in generale la lunghezza di una curva $gamma$ non è $int_a^b||gamma'(t)||dt$ ?
Sì, più o meno...
Come ha detto Sandokan, la lunghezza di una curva continua $gamma: [a,b]->RR^n$ è:
$L(\gamma) = Sup { \sum_{i = 1}^k || \gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1}) || : k >= 1, a = t_0 < t_1 < \ldots < t_k = b }$.
Se la curva è anche una funzione di classe $C^1$ su $[a,b]$, allora si può dimostrare che:
$L(gamma)=int_a^b||gamma'(t)||dt$
Come ha detto Sandokan, la lunghezza di una curva continua $gamma: [a,b]->RR^n$ è:
$L(\gamma) = Sup { \sum_{i = 1}^k || \gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1}) || : k >= 1, a = t_0 < t_1 < \ldots < t_k = b }$.
Se la curva è anche una funzione di classe $C^1$ su $[a,b]$, allora si può dimostrare che:
$L(gamma)=int_a^b||gamma'(t)||dt$
Forse non mi è chiaro il problema di Raphael, ma se noi non sappiamo che la curva di minor lunghezza tra due punti è il segmento che li unisce (che è quello che bisogna dimostrare), come facciamo a definire la lunghezza di una curva come il sup della lunghezza di spezzate dei suoi punti? In effetti, come Raphael, anche io avrei pensato ad un metodo variazionale.
EDIT: In una formulazione un po' fisicheggiante, la lunghezza di una curva $x_i(t)$ sufficientemente buona è $int_{t_0}^{t_1} (\dot{x_i}\dot{x^i})^{1/2}dt$ (somma sugli indici ripetuti). L'equazione di E.L. diventa allora $\ddot{x_i}=0$, che è una retta in forma parametrica.
EDIT: In una formulazione un po' fisicheggiante, la lunghezza di una curva $x_i(t)$ sufficientemente buona è $int_{t_0}^{t_1} (\dot{x_i}\dot{x^i})^{1/2}dt$ (somma sugli indici ripetuti). L'equazione di E.L. diventa allora $\ddot{x_i}=0$, che è una retta in forma parametrica.
Io ho guardato un po´in giro... la formula secondo me che devo considerare é che la lunghezza di una curva é data da $int_a^b||gamma'(t)||dt$ e a questo punto devo cercare di dimostrare che questa quantitá é maggiore o uguale alla lunghezza del segmento che congiugne i punti x e y, ma non ci riesco maledizione!!!!!!!
Se proprio ci tieni a restringerti al caso delle curve di classe $C^1$ piuttosto che alle continue, ok... Comunque andava benissimo, anzi meglio, quanto aveva scritto Sandokan, visto che i suoi passaggi dimostrano un caso più generale 
.
Sia $gamma:[a,b]->RR^n$, $gamma(t)=(gamma_1(t),gamma_2(t),...gamma_n(t))$
$int_a^b || gamma'(t) || dt >=|| int_a^b gamma'(t) dt ||=|| int_a^b gamma'(t) dt ||=|| gamma(b)-gamma(a) ||=||y-x||$. Fatto.
Naturalmente, $int_a^b gamma'(t) dt$ è inteso come il vettore degli integrali componente per componente, diciamo così...
Per spiegarmi meglio: $int_a^b gamma'(t) dt=(int_a^b gamma_1'(t) dt, int_a^b gamma_2'(t) dt,..., int_a^b gamma_n'(t) dt)$.
.Sia $gamma:[a,b]->RR^n$, $gamma(t)=(gamma_1(t),gamma_2(t),...gamma_n(t))$
$int_a^b || gamma'(t) || dt >=|| int_a^b gamma'(t) dt ||=|| int_a^b gamma'(t) dt ||=|| gamma(b)-gamma(a) ||=||y-x||$. Fatto.
Naturalmente, $int_a^b gamma'(t) dt$ è inteso come il vettore degli integrali componente per componente, diciamo così...
Per spiegarmi meglio: $int_a^b gamma'(t) dt=(int_a^b gamma_1'(t) dt, int_a^b gamma_2'(t) dt,..., int_a^b gamma_n'(t) dt)$.
Certo capisco... in effetti é vero che il caso che volevo considerare io é meno generale di quello di Sandokan. Mi resta ancora un dubbio... io dimostro che é maggiore uguale della lunghezza del segmento... non dovrei dimostrare anche che risulta proprio uguale quando $gamma$ é esattamente il segmento?
Direi che è ovvia la risposta alla tua domanda...
Comunque, se hai pazienza, entro stasera, cerco di postarti una spiegazione dettagliata...
Se nel frattempo qualcuno vuole anticiparmi, faccia pure...
Comunque, se hai pazienza, entro stasera, cerco di postarti una spiegazione dettagliata...
Se nel frattempo qualcuno vuole anticiparmi, faccia pure...
Grazie mille! aspetto la spiegazione.. perché vorrei capire bene
"Raphael":
Certo capisco... in effetti é vero che il caso che volevo considerare io é meno generale di quello di Sandokan. Mi resta ancora un dubbio... io dimostro che é maggiore uguale della lunghezza del segmento... non dovrei dimostrare anche che risulta proprio uguale quando $gamma$ é esattamente il segmento?
Basta dare una parametrizzazione di $gamma$ e integrare...
io di queste cose non so proprio niente... e soprattutto non ci capisco nulla!!! in sostanza dovrei considerare una parametrizzazione di $gamma$ nel caso in cui rappresenti un segmento?
Ecco qua: chissà quanti errori, inesattezze e ridondanze sono riuscito a inserire!!!
Piccolo ripasso sulle curve continue di $RR^n$
Definizione 1: Una curva (continua) di $RR^n$ è una funzione continua $gamma:I->RR^n$, ove $I$ è un intervallo di $RR^n$.
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $Si definisce la traccia o il sostegno della curva $gamma$ l'immagine mediante $gamma$ di $I$, $gamma(I)$.
Spesso, per abuso di notazione, si parla di curva in luogo del sostegno della curva stessa. E' bene, però, fare attenzione, in quanto due curve diverse possono avere lo stesso sostegno. Ad esempio, $gamma_1:[0,2 pi]->RR^2$, $gamma_1(t)=(cos t, sin t)$ e $gamma_2:[0,4 pi]->RR^2$, $gamma_2(t)=(cos t, sin t)$ hanno lo stesso sostegno, cioè la circonferenza di centro $(0,0)$ e raggio $1$. Tuttavia, sono due curve diverse.
Notiamo anche che un sottoinsieme di $RR^n$ ad "opportune" (*) condizioni può essere rappresentato come sostegno di una curva. Anzi, come visto nell'esempio precedente, può essere rappresentato da più curve diverse. Più precisamente, si dice che un sottoinsieme è parametrizzato da una curva (in quanto la curva dipende appunto da un parametro $t$).
[size=84](*) E qui ometto discorsi che potrebbero diventare lunghissimi...[/size]
Definizione 2: Un segmento di $RR^n$ è un sottoinsieme di $RR^n$ di questo tipo:
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$[bbx,bby]={tbbx+(1-t)bby, \ t in [0,1]} \ \ sube RR^n$
Osservazione 1: Un segmento $[bbx,bby]$ di $RR^n$ si può parametrizzare con una curva di questo tipo:
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$sigma:[0,1]->RR^n$, $sigma(t)=tbbx+(1-t)bby \ in RR^n$.
Osservazione 2: La lunghezza del segmento $[bbx,bby]$ di $RR^n$ è data dalla distanza euclidea di $bbx$ da $bby$, cioè $|| bbx - bby ||$($=|| bby - bbx||$)
Definizione 3: Sia $gamma:[a,b]->RR^n$ una curva continua. Se è finito:
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$L(gamma)=Sup{sum_{i=1}^k || gamma(t_i) - gamma(t_{i-1}) ||, \ \ k>=1, a=t_0
La definizione 3 di lunghezza di una curva (quando la curva è rettificabile) è estremamente intuitivo.
Il procedimento nella pratica consiste nel prendere alcuni punti della curva (del suo sostegno) e costruire la spezzata passante per quei punti.
Quanto più aumentiamo il numero di punti, tanto più tendiamo a disegnare la curva stessa.
Dunque, per calcolare $L(gamma)$, ha senso considerare la lunghezza di ogni spezzata di questo tipo, data dalla somma delle lunghezze dei segmenti che la compongono ($sum_{i=1}^k || gamma(t_i) - gamma(t_{i-1}) ||$); aumentando sempre più il numero di vertici si tende a giungere alla lunghezza della curva stessa.
Teorema 1: Sia $gamma:[a,b]→RR^n$ una curva di classe $C^1$. Allora:
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$int_a^b || gamma ' (t) || dt=Sup{sum_{i=1}^k || gamma(t_i) - gamma(t_{i-1}) ||, \ \ k>=1, a=t_0
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$L(gamma)=int_a^b || gamma ' (t) || dt$
La dimostrazione di questo teorema non è complicata, ma non è banale, quindi la tralasciamo.
Osservazione 3: E' possibile omettere i discorsi precedenti e definire direttamente la lunghezza $gamma$ di una curva di classe $C^1 $ come $L(gamma)=int_a^b || gamma ' (t) || dt$.
Osservazione 4: Ovviamente (altrimenti non sarebbe valido il teorema 3), se consideriamo un segmento $[bbx,bby]$ di $RR^n$ e una sua parametrizzazione,
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ad esempio, $sigma:[0,1]->RR^n$, $sigma(t)=tbbx+(1-t)bby \ in RR^n$ deve risultare che la lunghezza della parametrizzazione sia proprio
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $la lunghezza euclidea $|| bbx - bby ||$. In effetti:
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$int_0^1 || sigma ' (t) || dt=int_0^1 || bbx-bby || dt=|| bbx - bby ||int_0^1 dt=|| bbx - bby ||$.
Notazione: Sia $gamma:[a,b]→RR^n$, $gamma(t)=(gamma_1(t),...,gamma_n(t))$ una curva di classe $C^1$. Allora useremo la seguente notazione:
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$int_a^b gamma'(t) dt = (int_a^b gamma_1'(t) dt,...,int_a^b gamma'_n(t) dt)$.
Lemma: Sia $gamma:[a,b]→RR^n$, $gamma(t)=(gamma_1(t),...,gamma_n(t))$ una curva di classe $C^1$. Allora:
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$|| int_a^b gamma'(t) dt \ || <= int_a^b || gamma'(t) || dt$.
Dimostrazione: Supponiamo $ || int_a^b gamma'(t) dt || !=0$, altrimenti è banale.
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$ || int_a^b gamma'(t) dt ||^2 = = sum_{i=1}^n (int_a^b gamma_i'(t) dt)^2 = sum_{i=1}^n (int_a^b gamma_i'(t) dt)(int_a^b gamma_i'(s) ds) = $
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$ = sum_{i=1}^n (int_a^b gamma_i'(t) (int_a^b gamma_i'(s) ds) dt) = int_a^b (sum_{i=1}^n gamma_i'(t)) (int_a^b gamma_i'(s) ds) dt = int_a^b dt <= $ disuguaglianza di Cauchy-Schwartz
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$ <= int_a^b || gamma'(t) || || int_a^b gamma'(s)ds || dt = int_a^b || gamma'(t) || dt || int_a^b gamma'(s)ds || $
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $In definitiva, $ || int_a^b gamma'(t) dt ||^2 <= int_a^b || gamma'(t) || dt || int_a^b gamma'(s)ds || = int_a^b || gamma'(t) || dt || int_a^b gamma'(t)dt || $.
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $Quindi, dividendo per $int_a^b || gamma'(t) || dt$:
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$ || int_a^b gamma'(t) dt || <= int_a^b || gamma'(t) || dt || $.
Proposizione 1: Sia $gamma:[a,b]→RR^n$ una curva continua. Allora $L(gamma)>=|| gamma(b) - gamma(a) ||$
Dimostrazione: i) Caso della curva di classe $C^1$.
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $Per il lemma precedente:
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$L(gamma)=int_a^b || gamma ' (t) || dt>= || int_a^b gamma '(t) dt ||=|| [gamma (t)]_{t=a}^{t=b}|| = || gamma(b) - gamma(a) ||$.
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ ii) Caso generale della curva continua.
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $Se la curva non è rettificabile, $L(gamma)=+oo$ e allora l'asserto è ovvio.
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $Supponiamo che la curva sia rettificabile.
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $Scelta la scomposizione dell'intervallo $[a,b]$ costituita dai soli due punti $t_0=a$ e $t_1=b$, allora, essendo
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$L(gamma)=Sup{sum_{i=1}^k || gamma(t_i) - gamma(t_{i-1}) ||, \ \ k>=1, a=t_0
Osservazione 5: La proposizione 1 mostra che la lunghezza di una curva sempre maggiore o uguale alla lunghezza del segmento che sottende alla curva stessa.
Piccolo ripasso sulle curve continue di $RR^n$
Definizione 1: Una curva (continua) di $RR^n$ è una funzione continua $gamma:I->RR^n$, ove $I$ è un intervallo di $RR^n$.
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $Si definisce la traccia o il sostegno della curva $gamma$ l'immagine mediante $gamma$ di $I$, $gamma(I)$.
Spesso, per abuso di notazione, si parla di curva in luogo del sostegno della curva stessa. E' bene, però, fare attenzione, in quanto due curve diverse possono avere lo stesso sostegno. Ad esempio, $gamma_1:[0,2 pi]->RR^2$, $gamma_1(t)=(cos t, sin t)$ e $gamma_2:[0,4 pi]->RR^2$, $gamma_2(t)=(cos t, sin t)$ hanno lo stesso sostegno, cioè la circonferenza di centro $(0,0)$ e raggio $1$. Tuttavia, sono due curve diverse.
Notiamo anche che un sottoinsieme di $RR^n$ ad "opportune" (*) condizioni può essere rappresentato come sostegno di una curva. Anzi, come visto nell'esempio precedente, può essere rappresentato da più curve diverse. Più precisamente, si dice che un sottoinsieme è parametrizzato da una curva (in quanto la curva dipende appunto da un parametro $t$).
[size=84](*) E qui ometto discorsi che potrebbero diventare lunghissimi...[/size]
Definizione 2: Un segmento di $RR^n$ è un sottoinsieme di $RR^n$ di questo tipo:
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$[bbx,bby]={tbbx+(1-t)bby, \ t in [0,1]} \ \ sube RR^n$
Osservazione 1: Un segmento $[bbx,bby]$ di $RR^n$ si può parametrizzare con una curva di questo tipo:
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$sigma:[0,1]->RR^n$, $sigma(t)=tbbx+(1-t)bby \ in RR^n$.
Osservazione 2: La lunghezza del segmento $[bbx,bby]$ di $RR^n$ è data dalla distanza euclidea di $bbx$ da $bby$, cioè $|| bbx - bby ||$($=|| bby - bbx||$)
Definizione 3: Sia $gamma:[a,b]->RR^n$ una curva continua. Se è finito:
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$L(gamma)=Sup{sum_{i=1}^k || gamma(t_i) - gamma(t_{i-1}) ||, \ \ k>=1, a=t_0
La definizione 3 di lunghezza di una curva (quando la curva è rettificabile) è estremamente intuitivo.
Il procedimento nella pratica consiste nel prendere alcuni punti della curva (del suo sostegno) e costruire la spezzata passante per quei punti.
Quanto più aumentiamo il numero di punti, tanto più tendiamo a disegnare la curva stessa.
Dunque, per calcolare $L(gamma)$, ha senso considerare la lunghezza di ogni spezzata di questo tipo, data dalla somma delle lunghezze dei segmenti che la compongono ($sum_{i=1}^k || gamma(t_i) - gamma(t_{i-1}) ||$); aumentando sempre più il numero di vertici si tende a giungere alla lunghezza della curva stessa.
Teorema 1: Sia $gamma:[a,b]→RR^n$ una curva di classe $C^1$. Allora:
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$int_a^b || gamma ' (t) || dt=Sup{sum_{i=1}^k || gamma(t_i) - gamma(t_{i-1}) ||, \ \ k>=1, a=t_0
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$L(gamma)=int_a^b || gamma ' (t) || dt$
La dimostrazione di questo teorema non è complicata, ma non è banale, quindi la tralasciamo.
Osservazione 3: E' possibile omettere i discorsi precedenti e definire direttamente la lunghezza $gamma$ di una curva di classe $C^1 $ come $L(gamma)=int_a^b || gamma ' (t) || dt$.
Osservazione 4: Ovviamente (altrimenti non sarebbe valido il teorema 3), se consideriamo un segmento $[bbx,bby]$ di $RR^n$ e una sua parametrizzazione,
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ad esempio, $sigma:[0,1]->RR^n$, $sigma(t)=tbbx+(1-t)bby \ in RR^n$ deve risultare che la lunghezza della parametrizzazione sia proprio
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $la lunghezza euclidea $|| bbx - bby ||$. In effetti:
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$int_0^1 || sigma ' (t) || dt=int_0^1 || bbx-bby || dt=|| bbx - bby ||int_0^1 dt=|| bbx - bby ||$.
Notazione: Sia $gamma:[a,b]→RR^n$, $gamma(t)=(gamma_1(t),...,gamma_n(t))$ una curva di classe $C^1$. Allora useremo la seguente notazione:
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$int_a^b gamma'(t) dt = (int_a^b gamma_1'(t) dt,...,int_a^b gamma'_n(t) dt)$.
Lemma: Sia $gamma:[a,b]→RR^n$, $gamma(t)=(gamma_1(t),...,gamma_n(t))$ una curva di classe $C^1$. Allora:
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$|| int_a^b gamma'(t) dt \ || <= int_a^b || gamma'(t) || dt$.
Dimostrazione: Supponiamo $ || int_a^b gamma'(t) dt || !=0$, altrimenti è banale.
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$ || int_a^b gamma'(t) dt ||^2 =
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$ = sum_{i=1}^n (int_a^b gamma_i'(t) (int_a^b gamma_i'(s) ds) dt) = int_a^b (sum_{i=1}^n gamma_i'(t)) (int_a^b gamma_i'(s) ds) dt = int_a^b
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$ <= int_a^b || gamma'(t) || || int_a^b gamma'(s)ds || dt = int_a^b || gamma'(t) || dt || int_a^b gamma'(s)ds || $
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $In definitiva, $ || int_a^b gamma'(t) dt ||^2 <= int_a^b || gamma'(t) || dt || int_a^b gamma'(s)ds || = int_a^b || gamma'(t) || dt || int_a^b gamma'(t)dt || $.
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $Quindi, dividendo per $int_a^b || gamma'(t) || dt$:
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$ || int_a^b gamma'(t) dt || <= int_a^b || gamma'(t) || dt || $.
Proposizione 1: Sia $gamma:[a,b]→RR^n$ una curva continua. Allora $L(gamma)>=|| gamma(b) - gamma(a) ||$
Dimostrazione: i) Caso della curva di classe $C^1$.
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $Per il lemma precedente:
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$L(gamma)=int_a^b || gamma ' (t) || dt>= || int_a^b gamma '(t) dt ||=|| [gamma (t)]_{t=a}^{t=b}|| = || gamma(b) - gamma(a) ||$.
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ ii) Caso generale della curva continua.
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $Se la curva non è rettificabile, $L(gamma)=+oo$ e allora l'asserto è ovvio.
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $Supponiamo che la curva sia rettificabile.
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $Scelta la scomposizione dell'intervallo $[a,b]$ costituita dai soli due punti $t_0=a$ e $t_1=b$, allora, essendo
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$L(gamma)=Sup{sum_{i=1}^k || gamma(t_i) - gamma(t_{i-1}) ||, \ \ k>=1, a=t_0
Osservazione 5: La proposizione 1 mostra che la lunghezza di una curva sempre maggiore o uguale alla lunghezza del segmento che sottende alla curva stessa.
Magari mi sfugge qualcosa, ma continuo a trovare il procedimento un po' tautologico.
La Definizione 3 mi sembra equivalente ad affermare che la minima distanza tra due punti è realizzata dal segmento congiungente. In particolare, poichè $L(\gamma)$ è un sup calcolato sull'insieme delle spezzate, ed il segmento congiungente è un caso di spezzata tra $a$ e $b$, mi sembra già sufficiente per concludere che, per qualsiasi curva $\gamma$ tracciata tra $a$ e $b$ vale $L(\gamma)\ge||y(b)-y(a)||$ (mi sembra che Sandokan dicesse la stessa cosa).
Forse sono un po' deviato dal fatto di aver trattato spesso con curve di lunghezza nulla (p.e. linee d'universo di fotoni) ...
Raphael, qual è il contesto in cui hai incontrato il problema?
La Definizione 3 mi sembra equivalente ad affermare che la minima distanza tra due punti è realizzata dal segmento congiungente. In particolare, poichè $L(\gamma)$ è un sup calcolato sull'insieme delle spezzate, ed il segmento congiungente è un caso di spezzata tra $a$ e $b$, mi sembra già sufficiente per concludere che, per qualsiasi curva $\gamma$ tracciata tra $a$ e $b$ vale $L(\gamma)\ge||y(b)-y(a)||$ (mi sembra che Sandokan dicesse la stessa cosa).
Forse sono un po' deviato dal fatto di aver trattato spesso con curve di lunghezza nulla (p.e. linee d'universo di fotoni) ...
Raphael, qual è il contesto in cui hai incontrato il problema?
"Cmax":
Magari mi sfugge qualcosa, ma continuo a trovare il procedimento un po' tautologico.
Certo che lo è, l'ho fatto apposta per far capire. E ho ripetuto apposta quanto detto da Sandokan, per inquadrare meglio la questione.
In pratica dalla definizione 3 ho scritto osservazioni non molto utili, se vogliamo, ma che avevano lo scopo di riordinare le idee di questo topic...
Riordinare le idee non è una capacità che mi compete, comunque io ho provato lo stesso...
Più che altro non capivo il problema iniziale. Considerare lo spazio $RR^3$ con la metrica euclidea, significa assumere già che la lunghezza minima tra due punti è il segmento, e la definizione di lunghezza di curva ne è una conseguenza. Ero curioso di sapere il contesto in cui Raphael ha incontrato il problema perchè è un inevitabile kindergarten in molti ambiti, e visto che aveva menzionato la brachistocrona pensavo fosse impegolato nel calcolo variazionale.
PS. Anche a me è piaciuta molto la storia di Paperone raccontata e disegnata da Don Rosa.
PS. Anche a me è piaciuta molto la storia di Paperone raccontata e disegnata da Don Rosa.
"Cmax":
Più che altro non capivo il problema iniziale. Considerare lo spazio $RR^3$ con la metrica euclidea, significa assumere già che la lunghezza minima tra due punti è il segmento, e la definizione di lunghezza di curva ne è una conseguenza. Ero curioso di sapere il contesto in cui Raphael ha incontrato il problema perchè è un inevitabile kindergarten in molti ambiti, e visto che aveva menzionato la brachistocrona pensavo fosse impegolato nel calcolo variazionale.
PS. Anche a me è piaciuta molto la storia di Paperone raccontata e disegnata da Don Rosa.
E' tutto giustissimo quello che dici, solo volevo rinfrescare un po' la memoria del nostro amico (anche se non sono il top della chiarezza come al solito).
Solo che, prima di capire il calcolo delle variazioni, sarebbe bene avere ben chiaro i concetti di base di analisi, tra cui le curve.
P.S.: La Saga, secondo me, è la più bella opera a fumetti mai disegnata... Sai che quasi tutti i fatti storici e i luoghi menzionati da Don Rosa (opportunamente parodiati) sono esistiti veramente? Fine dell'OT.
Qui io chiudo. Se c'è qualcosa da correggere a cancellare nei miei post di questo thread, ditemelo.
Ciao
ragazzi siete stati gentilissimi! Per me il fatto che fosse la distanza piú breve era ovvio. Non avevo mai pensato ad una dimostrazione fino a che non ho trovato su degli appunti di geometria di un amico l´esercizio proposto, quello che poi ho scritto qui.
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