Dimostrazione

[Sk_Anonymous]

Dimostrare che,data $f(s)=e^(-s)$ NON esiste $F(t)$ tale che $ccL^-1[f(s)](t)=F(t)$

[Kroldar]

Con $f(s)$ intendi la trasformata monolatera o bilatera?

[Sk_Anonymous]

Monolatera

[Kroldar]

Mettiamola così: non esiste una funzione ordinaria che soddisfi quella proposizione, viceversa in ambito distribuzionale le cose stanno diversamente.

[Sk_Anonymous]

Io c'ho una dimostrazione per assurdo,ma non la capisco;eccola:

Per assurdo esiste $F(t):RR->CC$ tale che $F(t)=0 AAt<0$ e $f(s)=ccL[F(t)](s)$.

Ma $f^(')(s)=-ccL[tF(t)](s)=-f(s)=-ccL[f(t)](s) => F(t)(t-1)=0 AAt>=0$ (da che cosa si deduce?)

$=> F(t)=0$ ma $ccL[0]=0$ in contraddizione con $ccL[F(t)](s)=e^(-s)$.

[Kroldar]

Metto in evidenza la parte importante:

$-L[tF(t)]=-L[F(t)]$

Da questo si ricava che

$L[tF(t)]-L[F(t)]=0$ e dalla linearità della trasformata di Laplace si ha $L[(t-1)F(t)]=0$

Antitrasformando ambo i membri risulta

$(t-1)F(t)=0 AA t >= 0$ da cui $F(t)=0 AA t >= 0$

Per ipotesi sapevamo che $F(t)=0 AA t < 0$, ma allora $F(t) = 0$ q.o. e ciò in contrasto con le ipotesi.

Effettivamente in ambito distribuzionale si trova che $delta(t-1)$ ha trasformata di Laplace pari a $e^(-s)$, ma, come ci aspettavamo, $delta(t-1)$ è nulla quasi ovunque.