DIMOSTRAZIONE (3) DI MATEMATICA 1

[Davide_861]

ciao a tutti;questa è un'altra dimostrazione non risolta,ma che dovrei sapere,perchè fa parte degli argomenti che mi richiedono all'esame..

dimostrare che se f:R in R è derivabile e il lim per x che tende a - infinito di f(x) = lim per x che tende a + infinito di f(x) allora esiste un c appartenente a R tale che f'(c)=0

grazie per la disponibilità

[Paolo902]

Se ho capito bene il teorema è:

Data $f: RR-> RR$ derivabile (dunque anche continua) tale che $lim_(x->-oo)f(x)=lim_(x->+oo)f(x)$ allora esiste un $c in RR$ tale che $f'(c)=0$

Se non sbaglio, assomiglia molto al teorema di Rolle: la funzione è derivabile, continua e agli "estremi" assume gli stessi valori (infatti i limiti coincidono per $x->+oo$ e $x->-oo$); dunque soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle e perciò esiste (almeno) un punto per cui si ha $f'(c)=0$.

Ciao,

Paolo

[zorn1]

Dobbiamo dimostrare che
*)esiste un intervallo [a;b] per cui f(a)=f(b)
per poi applicare il teorema di Rolle.

Sia l, il limite, finito. La funzione ha un asintoto orizzontale $y=l$, discriminiamo i seguenti casi:

1) f attraversa l'asintoto più di una volta: allora esistono $a!=b$ tale che $f(a)=f(b)=l$, quindi vale *).
2) f attraversa l'asintoto una sola volta, nel punto $x_0$: allora essendo continua, per $epsilon>0$ assume anche uno dei valori $l+-epsilon$ per un opportuno $delta$: in altre parole $f(x_0+delta)=l+-epsilon$. Ora, per $x to +oo$ il limite è l, quindi esiste $K>0$ tale che $f(K)=l+-epsilon$. Fai le giuste posizioni e sistema i dettagli. L'idea è semplice.
3) f non attraversa mai l'asintoto. Allora o è sempre maggiore o sempre minore di l. Procedi analogamente.

Se il limite è infinito il fatto è ancora più immediato.

Devi però sistemare bene i dettagli, attenzione perché è insidiosa.