DIMOSTRAZIONE
Calcolo 2
Si dimostri che il prodotto di due serie convergenti è anch'esso convergente.
Grazie
Si dimostri che il prodotto di due serie convergenti è anch'esso convergente.
Grazie
Risposte
"parallel":
Si dimostri che il prodotto di due serie convergenti è anch'esso convergente.
Non è assolutamente vero.
No, credo sia vero se le serie sono assolutamente convergenti.
E' un punto di un esercizio. Allora bisognerà dimostrarne il contrario ??
"ennekappa":
No, credo sia vero se le serie sono assolutamente convergenti.
Infatti ho scritto che "non è assolutamente vero", gh... E in ogni caso è sufficiente che UNA soltanto delle due sia assolutamente convergente.
"parallel":
E' un punto di un esercizio. Allora bisognerà dimostrarne il contrario ??
Sì, possibile. Beh, in tal caso considera la serie $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n^{1/2}}$. Questa è banalmente convergente, per il criterio di Leibniz. Eppure il prodotto alla Cauchy della serie indicata per se stessa non è né convergente né divergente, bensì indeterminata.
Scusa, ho inteso quell' "non è assolutamente vero" nel senso comune perchè non avevo letto il tuo nick 
"ennekappa":
Scusa, ho inteso quell' "non è assolutamente vero" nel senso comune perchè non avevo letto il tuo nick
Scusa, adesso che l'hai letto cosa cambia?
Uno che si mette un nick come il tuo non usa termini con accezione di uso comune, altrimenti il povero Hilbert si rivolterebbe nella tomba! 
E quindi quell' "assolutamente" significava "in assoluto non è vero" invece che "non è mai vero".
E quindi quell' "assolutamente" significava "in assoluto non è vero" invece che "non è mai vero".
"parallel":
Calcolo 2
Si dimostri che il prodotto di due serie convergenti è anch'esso convergente.
Grazie
Esistono vari teoremi a riguardo. Ne cito alcuni:
1) Teorema di Mertens. Siano $sum_{n=0}^{oo} a_n$ e $sum_{n=0}^{oo} b_n$ due serie convergenti, di cui una assolutamente. Allora la serie prodotto converge.
2) Teorema di Cauchy: Siano $sum_{n=0}^{oo} a_n$ e $sum_{n=0}^{oo} b_n$ due serie assolutamente convergenti. Allora la serie prodotto secondo Cauchy $sum_{n=0}^{oo} c_n$ converge assolutamente.
Giusto per sgranchirmi le dita - sapete, debbono essere ben sciolte, per scrivere di topologia! 
Lemma: se $\{a_n\}_{n \ge 0}$ è una successione a valori in $\mathbb{C}$, la serie $\sum_{n=0}^\infty a_n$ converge assolutamente solo se sommabile in $l^2(\mathbb{C})$.
Dim.: poiché $\sum_{n=0}^\infty a_n$ è assolutamente convergente, esiste $v \in \mathbb{N}$ tale che, per ogni $n \ge v$: $0 \le |a_n|^2 < 1$, e quindi $|a_n|^2 \le |a_n|$, perciocché $\sum_{n=v}^\infty |a_n|^2 \le \sum_{n=v}^\infty |a_n| < +\infty$. Dalle proprietà della serie resto segue la tesi.
N.B.: in verità la condizone stablita dal lemma sarebbe un "sse". Però qui ci si può contentare di qualcosa in meno...
Teorema di Cauchy: vedi sopra.
Dim.: per ogni $n \in \mathbb{N}$, vale $|c_n|^2 \le (\sum_{k=0}^n |a_k| |b_{n-k}|)^2 \le (\sum_{k=0}^n |a_k|^2)(\sum_{k=0}^n |b_k|^2)$, per via della disuguaglianza di Cauchy. Dunque $(\lim_{n \to \infty} |c_n|)^2 \le (\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n |a_k|^2)(\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n |b_k|^2) < +\infty$, in base al lemma precedente. Ne segue la tesi, q.e.d.
"leonardo":
2) Teorema di Cauchy: Siano $sum_{n=0}^{oo} a_n$ e $sum_{n=0}^{oo} b_n$ due serie assolutamente convergenti. Allora la serie prodotto secondo Cauchy $sum_{n=0}^{oo} c_n$ converge assolutamente.
Lemma: se $\{a_n\}_{n \ge 0}$ è una successione a valori in $\mathbb{C}$, la serie $\sum_{n=0}^\infty a_n$ converge assolutamente solo se sommabile in $l^2(\mathbb{C})$.
Dim.: poiché $\sum_{n=0}^\infty a_n$ è assolutamente convergente, esiste $v \in \mathbb{N}$ tale che, per ogni $n \ge v$: $0 \le |a_n|^2 < 1$, e quindi $|a_n|^2 \le |a_n|$, perciocché $\sum_{n=v}^\infty |a_n|^2 \le \sum_{n=v}^\infty |a_n| < +\infty$. Dalle proprietà della serie resto segue la tesi.
N.B.: in verità la condizone stablita dal lemma sarebbe un "sse". Però qui ci si può contentare di qualcosa in meno...
Teorema di Cauchy: vedi sopra.
Dim.: per ogni $n \in \mathbb{N}$, vale $|c_n|^2 \le (\sum_{k=0}^n |a_k| |b_{n-k}|)^2 \le (\sum_{k=0}^n |a_k|^2)(\sum_{k=0}^n |b_k|^2)$, per via della disuguaglianza di Cauchy. Dunque $(\lim_{n \to \infty} |c_n|)^2 \le (\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n |a_k|^2)(\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n |b_k|^2) < +\infty$, in base al lemma precedente. Ne segue la tesi, q.e.d.
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