Dimostrazione

[pica1]

dimostrare che

(1/n)*Sommatoria per i che va da 0 a n di (P con i )*(n-1)

e' minimo se la successione P con 0 ,...,P con n e' ordinata in ordine crescente

[Sk_Anonymous]

Non ho capito. Potresti spiegare meglio?

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Woody1]

Non ho capito neanche io! Ma l'esercizio mi intriga. Potresti rispiegare meglio?
Woody

[pica1]

Cerco di spiegarmi meglio!

Ho un insieme di n numeri naturali diversi da zero:


Devo dimostrare che:

ha valore minimo quando i numeri sono ordinati in ordine crescente!

Spero di essere stato + chiaro!

[Woody1]

Sia: (P1,P2..Pn,..) successione a termini naturali non nulli.
Sia: A=[P1,P2..Pn..] insieme dei termini della successione. Sia:
D(n)=[(P1..Pn) app.ad A] insieme delle disposizioni di n elementi di A.
Sia: f(d,n)=(n-1)/n*sommatoria(Pi,i=1..n) con d appartenente a D(n) fissato. Occorre dimostrare che:

d0 in D(n) tale che: P1<=P2<=...<=Pn ---> f(d,n)= min[f(d,n) al variare di d in D(n)].

Per induzione. Se n=1: f(d,1)=0 per ogni d in D(0) --> f(d,1) è minimo.
Supponiamo vero per n naturale arbitrario che risulti:
f(d0,n)=min[f(d,n) al var. di d in D(n)] con d0 disposizione ordinata crescente dei Pi, cioè: P1<=...<=Pn . Sia:
P(n+1)=min[Pi t.c. Pi>Pn]. Allora:

f(d0,n+1)= f(d0,n)+(n-1)/n*P(n+1) --> f(d0,n+1) minima quando
(n-1)/n*P(n+1) è minima, cioè quando P(n+1) è minima; ma per la definizione di P(n+1) ciò è vero; dunque:

f(d0,n+1)=min[f(d,n+1) al var. di d in D(n+1)] con d0 disposizione ordinata crescente: P1<=P2<=...<=P(n+1). Per induzione la tesi è vera per ogni n naturale. c.v.d.
PS:scusa la confusione ma non abbiamo ancora fatto i gruppi ad algebra.. Ciao,
Woody.

[Sk_Anonymous]

Scusate un attimo, ma il problema di pica non ha senso. Quel fattore (n-1) interno alla sommatoria puo' anche uscire da essa, anzitutto. Resta la somma dei p_i, che non dipende da come sono ordinati.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Woody1]

La somma dei numeri P1...Pn non dipende dall'ordine di essi, ma dipende dall'ordine degli INFINITI elementi della SUCCESSIONE P1,P2....Pn,... Affinchè tale somma sia minima, occorre che valga:
P(i+1)>=Pi per ogni i nei naturali; perchè se si sceglie d0 disposizione dei Pi tale che, per esempio: P(n+1) 1)La disposizione dei Pi è identica a d0 per ogni i da 1 a n-1;
2)Pn e P(n+1) sono cambiati di posto rispetto a d0;
risulta tale che: f(d1,n) Spero di essere stato chiaro. Ciao,
Woody.

[Sk_Anonymous]

No, non ho capito. Poi mi pare che la somma sia finita e non infinita. Se i p_i sono naturali, non e' possibile scrivere una somma infinita di p_i convergente. Per quanto mi riguarda il problema continua a non essere ben posto.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it