Dimostrazione
Dovrei dimostrare che se una funzione f è derivabile in un punto c allora in quel punto è anche continua.
Può andare questa dimostrazione?
per hp si ha che lim x->c (f(x)-f(c))/(x-c)=f'(c)
moltiplico a destra e sinistra per x-c ottenendo:
lim x->c f(x)-f(c)=f'(c)(x-c)
per x->c x-c tende a zero, quindi f'(c)(x-c) fa zero, di conseguenza ottengo:
lim x->c f(x)-f(c)=0 da cui lim x->c f(x)=f(c)
Se non dovesse essere corretta (cosa molto probabile) qualcuno potrebbe postarmi una dimostrazione corretta?
Grazie
Può andare questa dimostrazione?
per hp si ha che lim x->c (f(x)-f(c))/(x-c)=f'(c)
moltiplico a destra e sinistra per x-c ottenendo:
lim x->c f(x)-f(c)=f'(c)(x-c)
per x->c x-c tende a zero, quindi f'(c)(x-c) fa zero, di conseguenza ottengo:
lim x->c f(x)-f(c)=0 da cui lim x->c f(x)=f(c)
Se non dovesse essere corretta (cosa molto probabile) qualcuno potrebbe postarmi una dimostrazione corretta?
Grazie
Risposte
quote:
Originally posted by Tipper
Dovrei dimostrare che se una funzione f è derivabile in un punto c allora in quel punto è anche continua.
Può andare questa dimostrazione?
per hp si ha che lim x->c (f(x)-f(c))/(x-c)=f'(c)
moltiplico a destra e sinistra per x-c ottenendo:
lim x->c f(x)-f(c)=f'(c)(x-c)
per x->c x-c tende a zero, quindi f'(c)(x-c) fa zero, di conseguenza ottengo:
lim x->c f(x)-f(c)=0 da cui lim x->c f(x)=f(c)
Se non dovesse essere corretta (cosa molto probabile) qualcuno potrebbe postarmi una dimostrazione corretta?
Grazie
Penso sia giusta
Mistral
PS rettifico mi ero sbagliato ha ragione Luca
No, non va bene. In particolare non ha senso quando affermi che lim x->c f(x)-f(c)=f'(c)(x-c). La quantita' a secondo membro dipende ancora da x, cosa che non puo' essere visto che sei passato al limite. Ti conviene fare cosi':
f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+o(|x-c|), e passi al limite per x che tende a c.
Luca77
http://www.llussardi.it
f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+o(|x-c|), e passi al limite per x che tende a c.
Luca77
http://www.llussardi.it
Rettifico anch'io; ho usato la Formula di Taylor, ma piu' facilmente uno ha
f(x)-f(c)=(f(x)-f(c))/(x-c)*(x-c), e passa al limite per x che tende a c.
Luca77
http://www.llussardi.it
f(x)-f(c)=(f(x)-f(c))/(x-c)*(x-c), e passa al limite per x che tende a c.
Luca77
http://www.llussardi.it
E invece quest'altra dimostrazione può andare?
Devo dimostrare che se la derivata di una funzione è zero allora la funzione è costante.
Considero quindi una funzione continua in un intervallo chiuso [a,b] e derivabile in un intervallo aperto (a,b) tale che la derivata in (a,b) si azzeri infinite volte.
Allora all'intervallo a,b è applicabile il teorema di Lagrange.
Considero un generico punto x € (a,b) quindi il teorema di Lagrange è applicabile anche all'intervallo (a,x) e si ottiene:
f'(c)=(f(x)-f(a))/(x-a) ma essendo f'(c)=0 per hp ottengo:
f(x)-f(a)=0 cioè f(x)=f(a)
Quindi in ogni generico punto x dell'intervallo la funzione è identicamente uguale a f(a), quindi la funzione in quell'intervallo è costante.
Al solito se questa dimostrazione non va bene potreste postarmi una dimostrazione corretta?
Grazie
Devo dimostrare che se la derivata di una funzione è zero allora la funzione è costante.
Considero quindi una funzione continua in un intervallo chiuso [a,b] e derivabile in un intervallo aperto (a,b) tale che la derivata in (a,b) si azzeri infinite volte.
Allora all'intervallo a,b è applicabile il teorema di Lagrange.
Considero un generico punto x € (a,b) quindi il teorema di Lagrange è applicabile anche all'intervallo (a,x) e si ottiene:
f'(c)=(f(x)-f(a))/(x-a) ma essendo f'(c)=0 per hp ottengo:
f(x)-f(a)=0 cioè f(x)=f(a)
Quindi in ogni generico punto x dell'intervallo la funzione è identicamente uguale a f(a), quindi la funzione in quell'intervallo è costante.
Al solito se questa dimostrazione non va bene potreste postarmi una dimostrazione corretta?
Grazie
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