Dimostrazione
ragazzi mi sono impallato su una dimostrazione; credo che sia piuttosto semplice, però... niente... oltre un banale caso particolare non ho cavato un ragno dal buco:
sia la serie di termine generico a(n) assolutamente convergente; dimostrare che è assolutamente convergente anche la serie di termine generico a(n)/(1+a(n)), con a(n)
-1.
grazie, ubermensch
sia la serie di termine generico a(n) assolutamente convergente; dimostrare che è assolutamente convergente anche la serie di termine generico a(n)/(1+a(n)), con a(n)
-1.grazie, ubermensch
Risposte
troppo difficile...? o troppo banale..? o troppo poco interessante..?
vabbè... nel frattempo la mia dimostrazione parziale ma esatta è diventata completa ma dubbiosa; la metto specificando alla fine i miei dubbi e sperando che qualcuno abbia voglia di guardarsela.
Se |a(n)| converge allora, |a(n+1)/a(n)|--->l<1; inoltre converge anche a(n), quindi a(n)--->0; tutti e due al divergere di n;
prendiamo ora la serie |a(n)/(1+a(n)| e applichiamogli il criterio del rapporto; il limite è:
a(n+1)(1+a(n))/a(n)(1+a(n+1)), che converge anch'esso ad l<1, quindi converge anche la serie a(n)/(1+a(n))
dubbio 1: il limite |a(n+1)/a(n)| teoricamente potrebbe non esistere; ma che significa che non esiste? può una serie convergere se non esiste quel limite? non lo so!
dubbio 2: il limite forse potrebbe anche essere 1, infatti in tal caso non posso dire a priori cosa fa la serie, e potrebbe anche convergere; ne consegue che anche il secondo limite potrebbe essere 1, mandando a monte il mio ragionamento.
commenti?
ciao, ubermensch
vabbè... nel frattempo la mia dimostrazione parziale ma esatta è diventata completa ma dubbiosa; la metto specificando alla fine i miei dubbi e sperando che qualcuno abbia voglia di guardarsela.
Se |a(n)| converge allora, |a(n+1)/a(n)|--->l<1; inoltre converge anche a(n), quindi a(n)--->0; tutti e due al divergere di n;
prendiamo ora la serie |a(n)/(1+a(n)| e applichiamogli il criterio del rapporto; il limite è:
a(n+1)(1+a(n))/a(n)(1+a(n+1)), che converge anch'esso ad l<1, quindi converge anche la serie a(n)/(1+a(n))
dubbio 1: il limite |a(n+1)/a(n)| teoricamente potrebbe non esistere; ma che significa che non esiste? può una serie convergere se non esiste quel limite? non lo so!
dubbio 2: il limite forse potrebbe anche essere 1, infatti in tal caso non posso dire a priori cosa fa la serie, e potrebbe anche convergere; ne consegue che anche il secondo limite potrebbe essere 1, mandando a monte il mio ragionamento.
commenti?
ciao, ubermensch
citazione:
Se |a(n)| converge allora, |a(n+1)/a(n)|--->l<1
Ah si?
citazione:
a(n+1)(1+a(n))/a(n)(1+a(n+1)), che converge anch'esso ad l<1
Me lo sapresti dimostrare?
Dubbi 1 e 2:
Una successione è di Cauchy se per ogni e>0 esiste k reale tale che, per ogni n,m>k, si ha |an-am|
Inoltre
Una successione è convergente se e solo se è di Cauchy.
Ricordati infine che stiamo parlando si serie e non di successioni.
mmm... o ho fatto un casino io, oppure mi sono spiegato male!
1) prima citazione:
se quel limite fosse maggiore di 1 la serie divergerebbe, allora è necessario che sia minore di 1 (o forse anche uguale?)
2) seconda citazione:
per le proprietà dei limiti posso staccarlo in a(n+1)/a(n) e (1+a(n))/(1+a(n+1)); il primo tende ad l e il secondo ad 1; quindi il prodotto tende ad l.
3) non capisco cosa c'entri Cauchy
4) so benissimo che stiamo parlando di serie; il mio dubbio proviene dal fatto che il criterio del rapporto mi dice che se il limite è uguale ad 1 allora non posso sapere a priori cosa fa la serie.
4.bis) scusami, ma dove ho confuso, se l'ho fatto, serie con successioni?
ciao, Ubermensch
1) prima citazione:
se quel limite fosse maggiore di 1 la serie divergerebbe, allora è necessario che sia minore di 1 (o forse anche uguale?)
2) seconda citazione:
per le proprietà dei limiti posso staccarlo in a(n+1)/a(n) e (1+a(n))/(1+a(n+1)); il primo tende ad l e il secondo ad 1; quindi il prodotto tende ad l.
3) non capisco cosa c'entri Cauchy
4) so benissimo che stiamo parlando di serie; il mio dubbio proviene dal fatto che il criterio del rapporto mi dice che se il limite è uguale ad 1 allora non posso sapere a priori cosa fa la serie.
4.bis) scusami, ma dove ho confuso, se l'ho fatto, serie con successioni?
ciao, Ubermensch
citazione:
se quel limite fosse maggiore di 1 la serie divergerebbe, allora è necessario che sia minore di 1 (o forse anche uguale?
O forse anche uguale...
1/n^2 converge assolutamente e il lim[n^2/(n+1)^2] converge a 1.D'altra parte quenso è vero pure per
1/n che non converge affatto.Questo è il motivo per il quale se nel criterio del rapporto hai 1 non puoi dire nulla.
citazione:
il limite |a(n+1)/a(n)| teoricamente potrebbe non esistere; ma che significa che non esiste? può una serie convergere se non esiste quel limite?
Il limite |a(n+1)/a(n)| può non esistere e una serie convergere.
Es.
an=1/n^2 per n pari
an=1/n^3 per n dispari
Quant'è il limite per n->inf di |a(n+1)/a(n)|?
an converge?citazione:
scusami, ma dove ho confuso, se l'ho fatto, serie con successioni?
Non lo hai fatto, ma il mio consiglio riguardava il non rimanere troppo attaccato allo studio della successione an,bn per individuarne il carattere della serie.
quindi ho visto giustamente i miei errori!
ho trovato un'altra soluzione, e questa mi pare corretta:
la accenno soltanto per brevità:
osserviamo innanzitutto che gli zeri della successione a(n) sono gli stessi e solo quelli della successione a(n)/(1+a(n); se tali zeri sono finiti, allora a(n) è definitivamente non nulla, quindi posso fare il confronto asintotico tra le due serie coi moduli ottendendo come limite 1. Se gli zeri di a(n) sono infiniti, allora facciamo un riordinamento che agisce nel seguente modo: raggruppa prima i termini non nulli e poi quelli nulli di a(n), consideriamo la serie di quelli non nulli, che converge assolutamente allo stesso limite della serie di partenza; d'altra parte, tale riordinamento ne induce un altro sulla seconda serie che viene anch'essa a non avere termini nulli. A questo punto, sulle serie riordinate, possiamo riapplicare il confronto asintotico ottenendo come limite 1; quindi il riordinamento della serie a(n)/(1+a(n)) converge assolutamente; ora, consideriamo la serie a(n)/(1+a(n)) come un riordinamento e quella riordinata come quella di partenza, allora per il th di Riemann, convergono assolutamente allo stesso valore, quindi la serie a(n)/(1+a(n)) converge assolutamente.
ciao, ubermensch
ho trovato un'altra soluzione, e questa mi pare corretta:
la accenno soltanto per brevità:
osserviamo innanzitutto che gli zeri della successione a(n) sono gli stessi e solo quelli della successione a(n)/(1+a(n); se tali zeri sono finiti, allora a(n) è definitivamente non nulla, quindi posso fare il confronto asintotico tra le due serie coi moduli ottendendo come limite 1. Se gli zeri di a(n) sono infiniti, allora facciamo un riordinamento che agisce nel seguente modo: raggruppa prima i termini non nulli e poi quelli nulli di a(n), consideriamo la serie di quelli non nulli, che converge assolutamente allo stesso limite della serie di partenza; d'altra parte, tale riordinamento ne induce un altro sulla seconda serie che viene anch'essa a non avere termini nulli. A questo punto, sulle serie riordinate, possiamo riapplicare il confronto asintotico ottenendo come limite 1; quindi il riordinamento della serie a(n)/(1+a(n)) converge assolutamente; ora, consideriamo la serie a(n)/(1+a(n)) come un riordinamento e quella riordinata come quella di partenza, allora per il th di Riemann, convergono assolutamente allo stesso valore, quindi la serie a(n)/(1+a(n)) converge assolutamente.
ciao, ubermensch
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spero che il "ghigno" sia di approvazione!
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