Dimostrazione 2° Teorema di Cauchy

[Light_1]

Salve a tutti ,
sto studiando analisi complessa sul Calogero .

Per esercizio mi si lascia la dimostrazione del 2° Teorema di Cauchy :

Sia $w(z)$ una funzione analitica nel dominio $Omega $ , sia $z$ un punto intorno a tale dominio , e $C$ una curva chiusa contenuta in $Omega$, nell' ipotesi che $w(z)$ sia continua sulla frontiera di $Omega$, vale la seguente formula:

$ w(z)=1/(2pii)oint_(C)dz'(w(z'))/(z'-z) $ .

Ora questo è il mio tentativo di dimostrazione :

$ 1/(2pii)oint_(C)dz'(w(z'))/(z'-z)=

1/(2pii)oint_(C)dz'[(w(z')-w(z))/(z'-z)]+1/(2pii)oint_(C)dz'(w(z))/(z'-z)dz'=$



$1/(2pii)oint_(C)dz'[(w(z')-w(z))/(z'-z)] +w(x) $

In pratica mi resta da dimostrare che ,

$ 1/(2pii)oint_(C)dz'[(w(z')-w(z))/(z'-z)]=0$

mi metto in coordinate polari con

$ z'-z=rhoe^(itheta) $ e ottengo subito

$ 1/(2pii)oint_(C)dz'[(w(z')-w(z))/(z'-z)]=
1/(2pii)int_(0)^(2pi) d theta (w(z+pe^(itheta))-w(z))/(rhoe^(itheta))irhoe^(itheta)=$


$1/(2pi)int_(0)^(2pi) d theta [w(z+pe^(itheta))-w(z)] $

Ora per $ rhorarr 0^(+) $ questo è vero .

Non capisco tanto bene il perchè $ rho$ debba tendere a $0^(+)$ , al fine che quella formula sia vera ,

insomma perché devo avere invarianza dal raggio ?

[dan952]

L'integrale sul cerchio è indipendente dal raggio dunque posso scegliere $\rho$ piccolo a piacere, e siccome $w(z)$ è continua, otteniamo quello che ci serviva per dimostrare la 2°formula integrale di Cauchy, cioè che $\lim_{\rho \rarr 0}w(z+\rhoe^{i\theta})=w(z)$.

[Light_1]

Grazie