Dimostrazione

[Silvia panera]

Ac$RR$ f:A-->$RR$ tc 1)f(A) intervallo 2) f monotona
Allora f continua
DIM
Sia $x_0 in A$ Proviamo che f è continua in $x_0$
Supponiamo che $x_0$ appartenga al derivato sinistro e al derivato destro di A.
Allora esistono $ lim_(x -> x_0-) f(x)= $ l'estremo superiore di f(x) per gli x in A, x<$x_0 <=f(x_0)$
e $ lim_(x -> x_0+) f(x)= $ l'estremo inferiore di f(x) per gli x in A, x>$x_0>=f(x_0)$
Proviamo che posto $l=lim_(x -> x_0-) f(x)$, risulta $l=f(x_0)$ (domanda 1:e $ lim_(x -> x_0+) f(x)= $?)
Ragioniamo per assurdo e supponiamo che $l Se $x Sia $x in A, x f(x)$ non appartiene a $]l, f(x_0)[$
Sia $x in A, x>x_0: f(x)>=f(x_0) -> f(x)$ non appartiene a $]l, f(x_0)[$
Assurdo, quindi $l=f(x_0)$

[Silvia panera]

Questa dim roprio non la capisco

[gugo82]

Fare un disegno aiuta.

[dissonance]

Aggiungo un suggerimento: supponi che \(A\) sia un intervallo. Tra l'altro, questo è di gran lunga il caso più importante. Una volta capita la dimostrazione in questo caso, la generalizzazione è facile.