Dimostrazione

[Lyra1]

Sia $(a_n)$ successione tale che 1) per ogni $n$ naturale (escluso lo zero): $a_n>0$
2) esiste il limite di $(a_(n+1))/(a_n) = l$ appartenente a $R$ ampliato
Allora esiste il limite di $ root (n) (a_n=l)$
DIMOSTRAZIONE:
Poniamo $a_0=1$ e osserviamo che per ogni $n$ appartenente all'Insieme dei naturali zero escluso, la radice ennesima di $a_n$ $ root(n) ((a_n)/(a_(n-1))*(a_(n-1))/(a_(n-2))*...(*a_1)/(a_0)) $ =
= $ root (n) ((a_n)/(a_0)) $ =
= $ root (n) (a_n )$
Per la proposizione precedente (teorema della successione della media geometrica di Cesaro) esiste il limite di $ root (n) (a_n=l) $

Non ho capito nulla

[pilloeffe]

Ciao Lyra,

Si tratta della dimostrazione del 4° Teorema di Cesàro, per dimostrare il quale alla fine tira in ballo il 3° Teorema di Cesàro:

"Lyra":Per la proposizione precedente (teorema della successione della media geometrica di Cesaro) esiste il limite di radice ennesima di $a_n = l $

Il 3° Teorema di Cesàro afferma che se $a_n > 0 \quad \AA n \in \NN $ si ha:

$lim_{n \to +\infty} a_n= l \implies lim_{n \to +\infty} root[n]{\prod_{k = 0}^{n - 1} a_k} = l$

[Lyra1]

non capisco, non capisco le uguaglianze

[pilloeffe]

"Lyra":non capisco, non capisco le uguaglianze

Hai scritto le cose parecchio male... Provo a riscrivertele correttamente.

Ipotesi
Sia $(a_n)$ una successione tale che
1) $a_n > 0, \quad \AA n \in \NN $ (il fatto di escludere $n = 0 $ intuisco sia pensato per prendersi la libertà di assumere $a_0 = 1 $, ma comunque $a_0 = 1 > 0 $);
2) esiste $ lim_{n \to +\infty} frac{a_{n + 1}}{a_n} = l \in \bar \RR $

Tesi
Esiste $ lim_{n \to +\infty} root[n]{a_n} = l $

Dimostrazione
Definiamo la successione $(b_n) $ nel modo seguente:

$b_n := frac{a_{n + 1}}{a_n}, \quad a_0 := 1 $

Per ipotesi si ha $ lim_{n \to +\infty} b_n = lim_{n \to +\infty} frac{a_{n + 1}}{a_n} = l $, per cui per il 3° Teorema di Cesàro si ha:

$lim_{n \to +\infty} b_n = l \implies lim_{n \to +\infty} root[n]{\prod_{k = 0}^{n - 1} b_k} = l \implies lim_{n \to +\infty} root[n]{b_0 \cdot b_1 \cdot b_2 \cdot ... \cdot b_{n - 2} \cdot b_{n - 1}} = l \implies $
$\implies lim_{n \to +\infty} root[n]{frac{a_1}{a_0} \cdot frac{a_2}{a_1} \cdot frac{a_3}{a_2} \cdot ... \cdot frac{a_{n - 1}}{a_{n - 2}} \cdot frac{a_n}{a_{n - 1}}} = l $

I termini in diagonale principale ($a_1 $, $a_2$, $a_3 $, ..., $a_{n - 2} $, $a_{n - 1} $) si semplificano tutti fra loro e "sopravvivono" solo $a_n $ e $a_0 := 1 $, per cui si ha:

$lim_{n \to +\infty} root[n]{frac{a_1}{a_0} \cdot frac{a_2}{a_1} \cdot frac{a_3}{a_2} \cdot ... \cdot frac{a_{n - 1}}{a_{n - 2}} \cdot frac{a_n}{a_{n - 1}}} = l \implies lim_{n \to +\infty} root[n] {frac{a_n}{a_0}} = l \implies lim_{n \to +\infty} root[n] {a_n} = l $

come volevasi dimostrare.

[Lyra1]

A me il terzo teorema di Csaro risluta:
ipotesi: $ a_n>0 $ e regolare
$ root(n)((a_(1)* a_(2)*...*a_(n)) $ successione della sua media geometrica

tesi: tale successione è regolare e il suo limite è quello della successione madre

[Lyra1]

quindi capirei k che va da zero a n non da zero a n-1
perché non si inizia da $(a_(n+1))//a_(n)$?

[pilloeffe]

Dipende da come la definisci, ma si tratta di una traslazione di indici: $k$ va da $0$ a $n - 1$, oppure da $1$ a $n$: la sostanza non cambia. D'altronde si ha:

$root[n]{\prod_{k = 0}^{n - 1} a_k} = root[n]{a_0 \cdot a_1 \cdot \a_2 \cdot ... \cdot a_{n - 1}} = root[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_{n - 1}} = root[n]{\prod_{k = 1}^{n - 1} a_k} $

se $a_0 := 1 $. Questo risultato è stato usato sulla nuova successione $(b_n) $ definita come specificato nel post precedente. Potresti provare a ripetere la dimostrazione con $k$ che va da $1$ a $n$