Dimostrazione
Qualcuno saprebbe dimostrare perché l'equazione $ e^(rDeltat)(u+d)-ud-e^(2rDeltat)=sigma^2Deltat $ ha come soluzioni $ u=e^(sigmaroot()(Deltat)) $ e $ d=e^(-sigmaroot()(Deltat)) $ ?
Risposte
Tentativo.
Uso Taylor per $e^x$ (ossia $e^x=1+x+(x^2)/(2!)+(x^3)/(3!)$) assumendo $x=r∆t$. Trascuro i termini di grado superiore al primo e ottengo $e^(r∆t)=1+r∆t$. Sostituisco nell’equazione e ottengo $(1+r∆t)(u+d)-ud-1-2r∆t=σ^2∆t$, che per $ud=1$ è pari a $u+d=(σ^2 ∆t)/(1+r∆t)+2$. Assumo poi $u=e^x$ e $d=e^(-x)$. Ciò implica che $u=1+x+x^2/2$ e che $d=1-x+x^2/2$, per cui si ha $x^2=(σ^2 ∆t)/(1+r∆t)$.
Ora però non riesco ad andare avanti
Uso Taylor per $e^x$ (ossia $e^x=1+x+(x^2)/(2!)+(x^3)/(3!)$) assumendo $x=r∆t$. Trascuro i termini di grado superiore al primo e ottengo $e^(r∆t)=1+r∆t$. Sostituisco nell’equazione e ottengo $(1+r∆t)(u+d)-ud-1-2r∆t=σ^2∆t$, che per $ud=1$ è pari a $u+d=(σ^2 ∆t)/(1+r∆t)+2$. Assumo poi $u=e^x$ e $d=e^(-x)$. Ciò implica che $u=1+x+x^2/2$ e che $d=1-x+x^2/2$, per cui si ha $x^2=(σ^2 ∆t)/(1+r∆t)$.
Ora però non riesco ad andare avanti
Ciao mobley,
Beh, se $x = r\Delta t $ e puoi assumere per $u$ e $d$ quelle espressioni, se le approssimazioni sono accettabili si può scrivere:
$ x^2 = (\sigma^2 \Delta t)/(1+r\Delta t) = \sigma^2 \Delta t \cdot frac{1}{1 + r\Delta t} = \sigma^2 \Delta t \cdot sum_{n = 0}^{+\infty} (- r\Delta t)^n ~= \sigma^2 \Delta t \implies x ~= \sigma sqrt{\Delta t} $
Quindi, se le approssimazioni sono accettabili, si ha proprio
$ u = e^x = e^{\sigma sqrt{\Delta t}} $
$ d = e^{- x} = e^{- \sigma sqrt{\Delta t}} $
che è ciò che volevasi dimostrare.
Beh, se $x = r\Delta t $ e puoi assumere per $u$ e $d$ quelle espressioni, se le approssimazioni sono accettabili si può scrivere:
$ x^2 = (\sigma^2 \Delta t)/(1+r\Delta t) = \sigma^2 \Delta t \cdot frac{1}{1 + r\Delta t} = \sigma^2 \Delta t \cdot sum_{n = 0}^{+\infty} (- r\Delta t)^n ~= \sigma^2 \Delta t \implies x ~= \sigma sqrt{\Delta t} $
Quindi, se le approssimazioni sono accettabili, si ha proprio
$ u = e^x = e^{\sigma sqrt{\Delta t}} $
$ d = e^{- x} = e^{- \sigma sqrt{\Delta t}} $
che è ciò che volevasi dimostrare.
Non mi pare che sostituendo ad $u$ e $d$ quei risultati si ottenga un'uguaglianza, almeno forse non ci sono arrivato algebricamente. Svolgendo però delle sostituzioni ed effettuando alcuni passaggi ho trovato due soluzioni per $u$ e $d$ valide.
Sostituisci $e^{r\Delta t}=x$, quindi $e^{2r\Delta t}=x^2$:
\(\displaystyle x(u+d)-ud-x^2=\sigma^2\Delta t \)
Trasforma a primo membro in un polinomio di secondo grado in $x$
\(\displaystyle x^2-(u+d)x+ud=-\sigma^2 \Delta t \)
Che puoi scrivere anche come
\(\displaystyle (x-u)(x-d)=-\sigma^2\Delta t \)
Se sostituisci $x-u=y$ e $x-d=z$ vedi che
\(\displaystyle yz=-\sigma^2\Delta t \)
\(\displaystyle -\sigma^2\Delta t=-\sigma\sqrt{\Delta t}\cdot \sigma \sqrt{\Delta t} \)
E quindi
\(\displaystyle yz=-\sigma\sqrt{\Delta t}\cdot \sigma \sqrt{\Delta t} \)
Puoi pensarla come $y=-\sigma \sqrt{\Delta t}$ e $z=\sigma \sqrt{\Delta t}$
Ovvero $x-u=-\sigma \sqrt{\Delta t}$ ed $x-d=\sigma \sqrt{\Delta t}$
Sostituendo $x$ hai
\(\displaystyle e^{r\Delta t}-u=-\sigma \sqrt{\Delta t} \to u=e^{r\Delta t}+\sigma \sqrt{\Delta t} \)
Ed
\(\displaystyle e^{r\Delta t}-d=\sigma \sqrt{\Delta t} \to d=e^{r\Delta t}-\sigma \sqrt{\Delta t} \)
Io ho trovato queste due soluzioni ed effettivamente, sostituendo si ottiene l'uguaglianza. Forse più che soluzioni il testo ti chiede di dimostrare che sono approssimazioni, come ti ha scritto pure pilloleffe sopra. Almenochè sostituendo $u$ e $d$ del testo non ho commesso qualche errore nei passaggi algebrici.
Sostituisci $e^{r\Delta t}=x$, quindi $e^{2r\Delta t}=x^2$:
\(\displaystyle x(u+d)-ud-x^2=\sigma^2\Delta t \)
Trasforma a primo membro in un polinomio di secondo grado in $x$
\(\displaystyle x^2-(u+d)x+ud=-\sigma^2 \Delta t \)
Che puoi scrivere anche come
\(\displaystyle (x-u)(x-d)=-\sigma^2\Delta t \)
Se sostituisci $x-u=y$ e $x-d=z$ vedi che
\(\displaystyle yz=-\sigma^2\Delta t \)
\(\displaystyle -\sigma^2\Delta t=-\sigma\sqrt{\Delta t}\cdot \sigma \sqrt{\Delta t} \)
E quindi
\(\displaystyle yz=-\sigma\sqrt{\Delta t}\cdot \sigma \sqrt{\Delta t} \)
Puoi pensarla come $y=-\sigma \sqrt{\Delta t}$ e $z=\sigma \sqrt{\Delta t}$
Ovvero $x-u=-\sigma \sqrt{\Delta t}$ ed $x-d=\sigma \sqrt{\Delta t}$
Sostituendo $x$ hai
\(\displaystyle e^{r\Delta t}-u=-\sigma \sqrt{\Delta t} \to u=e^{r\Delta t}+\sigma \sqrt{\Delta t} \)
Ed
\(\displaystyle e^{r\Delta t}-d=\sigma \sqrt{\Delta t} \to d=e^{r\Delta t}-\sigma \sqrt{\Delta t} \)
Io ho trovato queste due soluzioni ed effettivamente, sostituendo si ottiene l'uguaglianza. Forse più che soluzioni il testo ti chiede di dimostrare che sono approssimazioni, come ti ha scritto pure pilloleffe sopra. Almenochè sostituendo $u$ e $d$ del testo non ho commesso qualche errore nei passaggi algebrici.
Grazie CaMpIoN,
se non ho capito male dovrebbe trattarsi, infatti, di approssimazioni per $∆t->0$.
se non ho capito male dovrebbe trattarsi, infatti, di approssimazioni per $∆t->0$.
Grazie pilloeffe,
potresti spiegarmi perchè $ 1/(1+rDeltat)=sum...~= sigma^2Deltat $ ?
potresti spiegarmi perchè $ 1/(1+rDeltat)=sum...~= sigma^2Deltat $ ?
Non saprei dirti: il buon Hull passa dall'equazione di cui sopra direttamente alle soluzioni, senza alcun genere di passaggio o quantomeno di descrizione. Sono io che sto supponendo (quasi sicuramente sbagliando) una convergenza asintotica degli intervalli...
Se è una approssimazione allora credo che il procedimento di pilloleffe è perfetto.
Quella somma infinita è la formula della serie geometrica (cioè la convergenza della somma parziale). Se $\Delta t\to 0$ il rapporto tende a $1$.
Quella somma infinita è la formula della serie geometrica (cioè la convergenza della somma parziale). Se $\Delta t\to 0$ il rapporto tende a $1$.
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