Dimostrazione

[marty.nani1]

Buongiorno,

devo dimostrare che la continuità in x0 non implica derivabilità in x0, ma non so come fare.

Grazie in anticipo,

[asker993]

ciao, intuitivamente (non so se si può fare) potresti dimostrarlo con un esempio, il più facile secondo me è $f(x)=|x|$ in $|x0=0|$, dove, in $x0$ puoi applicare la definizione di continuità e scoprire che è continuo dopodichè quella di derivabilità in un punto e scoprire che i limite destro e sinistro non coincidono, dunque non è derivabile...poi non so se c'è un metodo più rigoroso

[Plepp]

"asker993":...poi non so se c'è un metodo più rigoroso

Questo (addurre un controesempio) è l'unico modo

[CaMpIoN]

Per definizione una funzione è continua se
\(\displaystyle \lim_{h \to 0} f(x_0+h)=f(x_0) \)
Mentre per definizione di derivata si ha
\(\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)}{h}-\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0)}{h}=\)
\(\displaystyle =\lim_{h \to 0} f(x_0+h) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}-\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0)}{h}\)
Ora indifferentemente dal fatto che il primo limite esista e sia finito si ha che da esso si arriva comunque alla definizione di continuità. Non so' se questa può essere una dimostrazione, potrebbe mancare qualcosa.