Dimostrazione 1 elevato infinito (limite notevole nepero)

[federicoponti1]

Salve a tutti, sto preparando l'esame di analisi 1 e non riesco proprio a capire i passaggi della dimostrazione del caso 1 elevato infinito presente sul mio libro di testo. Qualcuno potrebbe darmi una mano ?

[Riccardo Desimini]

Possiedo anch'io quel testo. Cosa non ti è chiaro esattamente?

[gio73]

Io non capisco perché parla del limite
$lim_(n->oo)(n/(3+n))^(5n)$
e poi
$lim_(n->oo)(n/(3+n))^(5n+1)$
era proprio necessario?

Ti espongo la mia idea facendo tutti i passaggi

[size=150]$(n/(3+n))^(5n)=(((3+n)/n)^(-1))^(5n)=((3+n)/n)^(-5n)$
$=(3/n+1)^(-5n)=1/((1+3/n)^(5n))=1/((1+1/(n/3))^(n/3))^15$[/size]

Ho ingrandito perchè si vedessero gli esponenti.

[federicoponti1]

come gio73 non mi è chiaro il cambio della funzione e poi non capisco proprio il passaggio per arrivare al terzo passaggio, quello dove al denominatore l'esponente è (3(5n+1))/n
perchè??

[gio73]

A quest'ultima domanda rispondo io

$(A)^(5n+1)$
A sarebbe tutto quello che vuoi (anche tutto quello che avevamo messo in parentesi prima e che non ho proprio voglia di riscrivere!), noi però non vogliamo che sia elevato a $5n + 1$ ma che sia elevato a$n/3$ allora ci domandiamo per cosa dobbiamo moltiplicare $n/3$ per ottenere come risultato $5n+1$?
risolviamo rapidamente l'equazione
$x*n/3=5n+1$
$x=(5n+1)*3/n$
di conseguenza
[size=150]$((A)^(n/3))^((5n+1)*3/n)=(A)^(5n+1)$[/size]

[Noisemaker]

non so se pertinente, in caso baipassa ciò che scrivo, ma il teorema in oggetto si propone di dimostrare che
\[\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}=e,\qquad a_n\in \mathbb{R}\]
noto il fatto che
\[\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e\qquad a \in \mathbb{N}\]

cioè sostanzailmente ti chiede di dimostrare che

\[\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e\qquad x\in \mathbb{R}\]

Dimostrazione

Supponiamo per semplicità che $a_n\to+\infty,$ l'altro caso è analogo. Ciò che bisogna osservare sin dall'inizio è che in questo caso dimostrare la
\[\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n} =e,\qquad\qquad(1)\]
equivale a dimostrare che
\begin{align}
\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} =e,\qquad\qquad(2)
\end{align}
in quanto in questo caso la $(1)$ non è una successione, poichè $a_n$ assume qualsiasi valore reale , perchè per definizione sappiamo che una successione è una funzione definita dai naturali $\NN$ ai numeri reali $\RR,$ cioè
\begin{align*}
a:\mathbb{N}&\to\mathbb{R}\\
n&\mapsto a_n
\end{align*}
Allora dobbiamo partire da ciò che sappiamo, cioè
\[\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e\]
e dimostrare la $(1)$ o la $(2).$ Gli strumenti che abbiamo a diaposizione sono i teoremi sulle successioni e quindi in questo caso sarà opportuno utilizzare il teorema dei due carabinieri, cercando di schiacciare la successione $(1)$ o la $(2)$ tra due successioni che convergono allo stesso limite. La funzione che ci fa passare dai numeri reali ai numeri naturali è la funzione parte intera, definita come
\begin{align*}
[x]\le x<[x]+1,\qquad\qquad [a_n]\le a_n<[a_n]+1.
\end{align*}
Osserviamo che se $x$ è un numero (reale) positivo (e in realtà lo è in quanto $x\to+\infty$) la parte intera di $x$ è un numero naturale, cioè
\begin{align*}
\mathbb{N}\ni[x]\le x<[x]+1\in \mathbb{N},\qquad\qquad \mathbb{N}\ni[a_n]\le a_n<[a_n]+1\in \mathbb{N}
\end{align*}
Maggiorariamo la successione:
\begin{align*}
\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n} \le \left(1+\frac{1}{[a_n]}\right)^{[a_n]+1}
\end{align*}
infatti per per maggiorare la quantità
\[\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\]
il numero $1$ lo lasciamo com'è; per maggiorare la frazione $\frac{1}{a_n}$ osserviamo che
\begin{align*}
[a_n]\le a_n<[a_n]+1\qquad\Rightarrow\qquad \frac{1}{[a_n]+1}\le\frac{1}{ a_n } <\frac{1}{[a_n]}
\end{align*}
per maggiorare l'esponente $a_n$ si osserva che la base dell'esponenziale maggiore di $1,$ dunque crescente, e per avere qualcosa di più grande basta aumentare l'esponente, cioè $a_n<[a_n]+1.$ Analogamente per trovare una minorazione si procede come sopra e si arriva a
\begin{align*}
\left(1+\frac{1}{[a_n]+1}\right)^{[a_n] } \le\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n} \le \left(1+\frac{1}{[a_n]}\right)^{[a_n]+1}
\end{align*}
A questo punto siamo riusciti a racchiudere la nostra funzione di partenza tra due successioni che hanno a che fare solo con numeri naturali, essendo come detto, $[x]\in \N.$ Dunque abbiamo ottenuto una relazione del tipo:
\begin{align*}
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n} \le\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n} \le \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}
\end{align*}
A questo punto abbiamo concluso, in quanto, prendendo i limiti delle due successioni esterne, otteniamo:
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n}&=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{(n+1)-1}=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{ n+1 }\cdot \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{-1}\\
&=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{ n+1 }\cdot \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{-1}=e\cdot 1=e\\
\lim_{n\to+\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}&= \lim_{n\to+\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n }\cdot \lim_{n\to+\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{1 }=e\cdot 1=e\\
\end{align*}
allora per il teorema dei due carabinieri, anche la successione centrale converge allo stesso limite, e dunque si conclude che:
\begin{align*}
\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n} =\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} =e
\end{align*}

[Riccardo Desimini]

"federicoponti":come gio73 non mi è chiaro il cambio della funzione

Per me è un errore: in realtà si voleva calcolare sin dall'inizio
\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} \left ( \frac{n}{3+n} \right )^{5n+1} \]

[federicoponti1]

Leggo solo ora, comunque sei stato chiarissimo e davvero esaustivo Noisemaker! Ringrazio davvero te e tutti gli altri che hanno risposto!