Dimostrazioene per induzione con fattoriale

[BoG3]

Ciao a tutti, ho un problema con una dimostrazione per induzione contenente un fattoriale:
dimostrare che: $\sum_(k=1)^n (4k^2+2k-1)/((2k+1)!) = 1-1/((2n+1)!)$ vale!

Per $n=1 $ ho $5/6 = 5/6$

ma per $n = n+1$: ho provato a fare così:
diventa: $1-1/((2n+1)!)+(4(n+1)^2+2(n+1)-1)/((2(n+1)+1)!)$ che cerco di uguagliare a $1-1/((2(n+1)+1)!)$.

$1-1/((2n+1)!)+(4n^2+8n+4+2n+2-1)/((2n+3)!) =$

$1-1/((2n+1)!)+(4n^2+10n+5)/((2n+3)!)=$

$1-((2n)!(2n+2)(2n+3)+4n^2+10n+5)/((2n+3)!)$ da cui non so andare avanti...

[@melia]

Poiché $k+1)!=(k+1)*k!$ per la definizione di fattoriale, puoi scrivere:
$(2n+3)!=(2n+3)(2n+2)(2n+1)!$
quindi
$1-1/((2n+1)!)+(4n^2+10n+5)/((2n+3)!)=1+(-(2n+3)(2n+2)+4n^2+10n+5)/((2n+3)!)$, adesso, con un po' di algebra di base, arrivi al risultato.

[BoG3]

ciao melia, grazie della risposta.
Stavo giusto per scriverti "come hai fatto a far sparire $(2n)!$" e poi ho notato che il denominatore è $(2n+1)!$ e non solo $(2n+1)$. Ora torna tutto. Come al solito sono troppo distratto.