Dimostrazie del teorema di unicità del limite...aiutooo
il teorema dice che se il limite esiste è unico..pensate che questa dimostrazione è corretta o buona?
ipotizzo per assurdo che esista (1)lim f(x)=l1 e che (2) lim f(x)= l2
x->xo x->xo
allora la differenza in modulo dei due limiti mi da la distanza fra i due limiti:
|l1-l2|=d ; la (1) per definizione vuol dire che : |f(x)-l1|< di epsilon
la (2) per definizione vuol dire che ; |f(x)-l2|< di epsilon
ma se io per epsilon considero proprio d/2, considero una quantità che non riesce a coprire tutta la distanza fra i due limiti, in quanto d> dell'epsilon che ho considerato..e quindi non posso scrivere tutto quello che ho detto e se il limite esiste vuol dire che è unico..
.....
vi sembra buona come dimostrazione?
ipotizzo per assurdo che esista (1)lim f(x)=l1 e che (2) lim f(x)= l2
x->xo x->xo
allora la differenza in modulo dei due limiti mi da la distanza fra i due limiti:
|l1-l2|=d ; la (1) per definizione vuol dire che : |f(x)-l1|< di epsilon
la (2) per definizione vuol dire che ; |f(x)-l2|< di epsilon
ma se io per epsilon considero proprio d/2, considero una quantità che non riesce a coprire tutta la distanza fra i due limiti, in quanto d> dell'epsilon che ho considerato..e quindi non posso scrivere tutto quello che ho detto e se il limite esiste vuol dire che è unico..
.....
vi sembra buona come dimostrazione?
Risposte
Se ho capito bene, hai colto l'idea principale della dimostrazione.
Per avere una dimostrazione accettabile, devi "manovrare" bene i quantificatori che intervengono nella definiizone di limite.
Per avere una dimostrazione accettabile, devi "manovrare" bene i quantificatori che intervengono nella definiizone di limite.
scusa la mia ignoranza ma sto studiando analisi 1 da poco..e non capisco bene..mi dici che per avere una dimostrazione accettabile, devo "manovrare" bene i quantificatori che intervengono nella definiizone di limite..mi puoi spiegare per favore?
i quantificatori sono i "per ogni" ed "esiste"
Puoi scrivere la dimostrazione in termini di intorni; secondo me è più semplice.
Considera una funzione $f: D -> RR$
Supponiamo, per assurdo, che per $x$ tendente ad $x_0$ sia
$f(x) -> L_1$ , $f(x) -> L_2$
Per la definizione di limite, comunque fissati $V_1$, $V_2$, rispettivamente intorni di $L_1$ e di $L_2$, e tali che (bada che questo è fondamentale) $V_1 nn V_2 = O/$,
allora $EE$ $U_1$, $U_2$ intorni del punto $x_0$.
Ricordando che $x_0$ è un punto di accumulazione per il dominio di $f$ e che l'intersezione di due intorni è ancora un intorno, è evidente che $( U_1 nn U_2 nn D - "{"x_0"}") != O/$.
Quindi $AA x in ( U_1 nn U_2 nn D - {x_0} )$, $f(x) in V_1 nn V_2$. Ecco pervenuti ad un assurdo: avevamo supposto $V_1 nn V_2 = O/$ e abbiamo scoperto che $V_1 nn V_2$ è non vuoto.
Considera una funzione $f: D -> RR$
Supponiamo, per assurdo, che per $x$ tendente ad $x_0$ sia
$f(x) -> L_1$ , $f(x) -> L_2$
Per la definizione di limite, comunque fissati $V_1$, $V_2$, rispettivamente intorni di $L_1$ e di $L_2$, e tali che (bada che questo è fondamentale) $V_1 nn V_2 = O/$,
allora $EE$ $U_1$, $U_2$ intorni del punto $x_0$.
Ricordando che $x_0$ è un punto di accumulazione per il dominio di $f$ e che l'intersezione di due intorni è ancora un intorno, è evidente che $( U_1 nn U_2 nn D - "{"x_0"}") != O/$.
Quindi $AA x in ( U_1 nn U_2 nn D - {x_0} )$, $f(x) in V_1 nn V_2$. Ecco pervenuti ad un assurdo: avevamo supposto $V_1 nn V_2 = O/$ e abbiamo scoperto che $V_1 nn V_2$ è non vuoto.
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