Dimostraz. sull'estremo superiore

[keccogrin-votailprof]

Si dimostri che se S è l'estremo superiore di un insieme A, allora [tex]\forall \varepsilon >0, \varepsilon[/tex] reale, esiste un elemento a appartenente ad A tale che [tex]a>S- \varepsilon[/tex].
Non credo che sia giusto cmq provo a mettere il mio tentativo:
(i) se per definizione S è il più piccolo dei maggioranti di A, allora [tex]S \leq m[/tex] [tex]\forall m[/tex] appartenente ad M= insieme dei maggioranti di A.
(ii) D'altronde posso scrivere, fissato un m, che [tex]\forall \varepsilon >0, \varepsilon[/tex] reale, esiste un elemento a appartenente ad A tale che [tex]m= a+ \epsilon[/tex].
Mettendo insieme (i) e (ii) ottengo che [tex]\forall \varepsilon >0, \varepsilon[/tex] reale, esiste un elemeto a appartenente ad A tale che[tex]S \leq a+ \varepsilon[/tex].
Il problema è che (ammesso che fin qui sia giusto) ottengo una disuguaglianza "larga" anzichè "stretta"...E' questo il metodo giusto per la dimostrazione? Qual è la via più indicata secondo voi?

P.S.: Considerate che come definizione di estremo superiore ho: dicesi estremo superiore S dell'insieme A il più piccolo dei maggioranti di A (quando A è superiormente limitato)

[misanino]

La tua dimostrazione non funziona poichè NON puoi dire che per ogni $m$ maggiorante e per ogni $\epsilon$ esiste un elemento $a\in A$ tale che $m=a+\epsilon$. Questo è falso

Io lo dimostrerei in questo modo:
Fissato $\epsilon$ qualunque, considero $S-\frac{\epsilon}{2}$. Ora tale elemento non può essere un maggiorante di A poichè è più piccolo di S che è il minimo dei maggioranti. Allora esiste $a\in A$ tale che $S-\frac{\epsilon}{2}<=a<=S$ e ho finito

[Paolo902]

Per assurdo viene subito.

Supponiamo esista un $epsilon>0$ tale che $forall x in A$ sia $s-epsilon>x$, dove $s= "sup A"$. Allora, $s-epsilon$ è ancora maggiorante (per definizione di maggiorante): ma $s-epsilon

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