Dimostrare validità Limite

[emanuele.sottili]

Ciao a tutti, potreste aiutarmi con il seguen esercizio?
Dimostrare la validtà del limite $ limx→1/2$ da sinistra $x^2/(2x-1) = -∞ $

scrivendo la disuguaglianza relativa alla funzione e determinando un opportuno insieme delle x che soddisfino tale uguaglianza.

Grazie in anticipo

Ps: Da sinistra intendo che accanto a 1/2 vi è il simbolo "-", non riuscivo ad impostarlo con il codice

[feddy]

Ciao,

considera la definizione di limite infinito per $x$ che tende a $x_0$ da sinistra:

diciamo che per $x$ che tende a $x_0$ la funzione $f(x)$ tende a $-\infty$ a sinistra se per ogni valore $M>0$ esiste un $\delta>0$, (che dipenderà da $M$), tale che se consideriamo $x_0 \in Dom(f)$, con $0allora $f(x) <-M$

Comincia svolgendo la disequazione $f(x) < -M$, (ricorda $M>0$ per definizione)

[emanuele.sottili]

"feddy":Ciao,

considera la definizione di limite infinito per $x$ che tende a $x_0$ da sinistra:

diciamo che per $x$ che tende a $x_0$ la funzione $f(x)$ tende a $-\infty$ a sinistra se per ogni valore $M>0$ esiste un $\delta>0$, (che dipenderà da $M$), tale che se consideriamo $x_0 \in Dom(f)$, con $0allora $f(x) <-M$

Comincia svolgendo la disequazione $f(x) < -M$, (ricorda $M>0$ per definizione)

Ciao, grazie mille per la risposta
Allora iniziando lo svolgimento della disequazione, considerando M>0 per definizione e f(x)<-M, questo è ciò che ho sviluppato:

$ x^2/(2x-1) < -M $

$ x^2/(2x-1) + M < 0 $

$ (x^2+M(2x-1))/(2x-1) <0 $

$ (x^2 + 2Mx - M)/(2x-1) <0 $

Ora se ho ben capito, dovrei procedere con lo studio del denominatore e del numeratore. Il problema è che non riesco effettivamente a giungere alla dimostrazione che (soluzione data dal Docente)

$ 1/2 - 1/16M < x < 1/2 $

Sapresti aiutarmi?

[emanuele.sottili]

Sviluppo ulteriore
Applicando la formula ridotta all' equazione di secondo grado
$ x^2 + 2MX - M $
il risultato è

$ -M±√(M^2+M) $

sviluppando la disequazione $ (√(M^2+M)) - M < 1/2 $
Si giunge a

$ 0 < 1/4 $ pertanto vera sempre

Come posso proseguire per arrivare a tale dimostrazione $ 1/2 - 1/16M < x < 1/2 $ ?