Dimostrare uniforme continuità
Salve a tutti..
Conosco la definizione di funzione uniformemente continua ma ho parecchi dubbi su come dimostrare che uno funzione lo è o meno... Nel mio libro c'è solo un esempio assegnando un valore opportuno ma non è così facile per le funzioni non banali.
Nonostante questo spesso trovo esercizi in cui mi è richiesto di dimostrare l'uniforme continuità di una funzione in un intervallo (o in tutto f(x)) oppure di dimostrare che non lo è.
Volevo sapere se c'è qualche metodo che può aiutarmi in questo.
Ad esempio ho letto un teorema secondo cui se esiste un asintoto obliquo oppure orizzontale allora sarà uniformemente continua ma è intesa tutta la f(x)? In un esercizio trovo che da un certo valore -1 di x la funzione scende asintoticamente a -2 (y quindi asintoto orizzontale)... Si può affermare che è uniformemente continua nell'intervallo ]$-oo$; 0 ] ?
Come fare negli altri casi?
Grazie per l'aiuto
Conosco la definizione di funzione uniformemente continua ma ho parecchi dubbi su come dimostrare che uno funzione lo è o meno... Nel mio libro c'è solo un esempio assegnando un valore opportuno ma non è così facile per le funzioni non banali.
Nonostante questo spesso trovo esercizi in cui mi è richiesto di dimostrare l'uniforme continuità di una funzione in un intervallo (o in tutto f(x)) oppure di dimostrare che non lo è.
Volevo sapere se c'è qualche metodo che può aiutarmi in questo.
Ad esempio ho letto un teorema secondo cui se esiste un asintoto obliquo oppure orizzontale allora sarà uniformemente continua ma è intesa tutta la f(x)? In un esercizio trovo che da un certo valore -1 di x la funzione scende asintoticamente a -2 (y quindi asintoto orizzontale)... Si può affermare che è uniformemente continua nell'intervallo ]$-oo$; 0 ] ?
Come fare negli altri casi?
Grazie per l'aiuto
Risposte
Anche io ho un po' di difficoltà nel dimostrare l'uniforme continuità!
Puoi dimostrare che una funzione sia uniformemente continua, partendo dal fatto che per esserlo, la funzione deve essere lipschitziana. Esiste un teorema il quale afferma: sia una funzione lipschitziana in un insieme A, allora la funzione è uniformemente continua. Il teorema di Cantor afferma che una funzione, per essere uniformemente continua, deve essere continua in un insieme compatto A. Tutto questo tratto dal mio libro di analisi 1.
Per dimostrare che una funzione è lipschitziana, in pratica devi esaminare il comportamento della sua derivata prima, cioè devi studiare la derivata prima come se fosse una funzione indipendente dalla sua primitiva. Se la $f'(x)$ è una funzione limitata, allora $f(x)$ è lipschitziana. Ergo $f(x)$ è uniformemente continua.
Puoi trovare qualcosa su Wikipedia.
http://it.wikipedia.org/wiki/Continuità_uniforme
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_lipschitziana
Per dimostrare che una funzione è lipschitziana, in pratica devi esaminare il comportamento della sua derivata prima, cioè devi studiare la derivata prima come se fosse una funzione indipendente dalla sua primitiva. Se la $f'(x)$ è una funzione limitata, allora $f(x)$ è lipschitziana. Ergo $f(x)$ è uniformemente continua.
Puoi trovare qualcosa su Wikipedia.
http://it.wikipedia.org/wiki/Continuità_uniforme
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_lipschitziana
"Albertus16":
Puoi dimostrare che una funzione sia uniformemente continua, partendo dal fatto che per esserlo, la funzione deve essere lipschitziana. Esiste un teorema il quale afferma: sia una funzione lipschitziana in un insieme A, allora la funzione è uniformemente continua. Il teorema di Cantor afferma che una funzione, per essere uniformemente continua, deve essere continua in un insieme compatto A. Tutto questo tratto dal mio libro di analisi 1.
Per dimostrare che una funzione è lipschitziana, in pratica devi esaminare il comportamento della sua derivata prima, cioè devi studiare la derivata prima come se fosse una funzione indipendente dalla sua primitiva. Se la $f'(x)$ è una funzione limitata, allora $f(x)$ è lipschitziana. Ergo $f(x)$ è uniformemente continua.
Quindi tutte le funzioni sono lipschitziane quando prese in un intervallo chiuso e limitato? Non capisco...
Sono interessato anche a capire come si dimostra se è lipschitziana... Comunque ad esempio sto provando adesso il tuo teorema ma mi viene fuori che la f'(x) è continua in tutto R quindi risulta poco utile...
Il teorema di Heine-Cantor fornisce un metodo per dimostrare l'uniforme continuità nel caso particolare in cui la funzione sia definita in un compatto (in $RR$ si tratta dell'unione finita di intervalli chiusi e limitati). Ogni funzione continua definita in un compatto è anche uniformemente continua. Questo significa anche che se si restringe una funzione ad un compatto contenuto nel suo dominio allora la funzione sarà uniformemente continua in quell'insieme.
Una funzione si dice lipschitziana se $||f(x) - f(y)|| < L||x - y||$ dove $L$ è una costante. Come ricordato da Albertus16 se una funzione è lipschitziana allora è uniformemente continua. Un criterio sufficiente (ma non necessario perché la funzione potrebbe anche non essere derivabile) perché una funzione f sia lipschitziana è che sia di classe $C^1$ e che la sua derivata sia limitata. Ma in alcuni casi è anche possibile (o necessario) dimostrare direttamente la disequazione nella definizione.
Una funzione si dice lipschitziana se $||f(x) - f(y)|| < L||x - y||$ dove $L$ è una costante. Come ricordato da Albertus16 se una funzione è lipschitziana allora è uniformemente continua. Un criterio sufficiente (ma non necessario perché la funzione potrebbe anche non essere derivabile) perché una funzione f sia lipschitziana è che sia di classe $C^1$ e che la sua derivata sia limitata. Ma in alcuni casi è anche possibile (o necessario) dimostrare direttamente la disequazione nella definizione.
Scusate se mi intrometto... Mi sembra di capire che sia stato affermato che
"tutte le funzioni uniformemente continue sono anche Lipschitziane".
Occhio che questo è falso: come controesempio prendiamo la funzione $[0,1]\to[0,1]$, $x\mapstosqrt(x)$. Questa funzione è uniformemente continua (teorema di Heine-Cantor, come diceva apatriarca), ma non Lipschitiziana e ce ne accorgiamo perché la derivata prima non è limitata. Quindi non possono essere limitati i rapporti incrementali e questa che stiamo negando è proprio la definizione di Lipschitzianità.
E' vero che
"tutte le funzioni Lipschitziane sono uniformemente continue"
ma non il viceversa.
Hope this helps
P.S.: Un'aggiunta a quanto dicevo sopra. Se consideriamo funzioni di variabile reale, finché siamo in intervalli chiusi e limitati la continuità e l'uniforme continuità sono equivalenti. Se gli intervalli non sono chiusi, ma sono limitati, una funzione continua è anche uniformemente continua se è limitata. Infatti in questo caso la funzione si può prolungare per continuità ad una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato, e quindi ad una funzione uniformemente continua.
Infine, se gli intervalli non sono limitati, c'è un teorema detto a volte "della farfalla": se ne parlò tempo fa sul forum, ma naturalmente non riesco a ritrovare la discussione... Non ho capito proprio per niente come funziona lo strumento Cerca purtroppo.
"tutte le funzioni uniformemente continue sono anche Lipschitziane".
Occhio che questo è falso: come controesempio prendiamo la funzione $[0,1]\to[0,1]$, $x\mapstosqrt(x)$. Questa funzione è uniformemente continua (teorema di Heine-Cantor, come diceva apatriarca), ma non Lipschitiziana e ce ne accorgiamo perché la derivata prima non è limitata. Quindi non possono essere limitati i rapporti incrementali e questa che stiamo negando è proprio la definizione di Lipschitzianità.
E' vero che
"tutte le funzioni Lipschitziane sono uniformemente continue"
ma non il viceversa.
Hope this helps
P.S.: Un'aggiunta a quanto dicevo sopra. Se consideriamo funzioni di variabile reale, finché siamo in intervalli chiusi e limitati la continuità e l'uniforme continuità sono equivalenti. Se gli intervalli non sono chiusi, ma sono limitati, una funzione continua è anche uniformemente continua se è limitata. Infatti in questo caso la funzione si può prolungare per continuità ad una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato, e quindi ad una funzione uniformemente continua.
Infine, se gli intervalli non sono limitati, c'è un teorema detto a volte "della farfalla": se ne parlò tempo fa sul forum, ma naturalmente non riesco a ritrovare la discussione... Non ho capito proprio per niente come funziona lo strumento Cerca purtroppo.
Questo teorema della farfalla mi sa molto simile a quello sull'asintoto.... Se non ho capito male richiama lo stesso principio.
Io non ho scritto che una funzione uniformemente continua è lipschitziana. Nel mio post precedente ho scritto infatti che una funzione lipschitziana è uniformemente continua, ma non il viceversa. Lo stesso concetto si può vedere quando dobbiamo provare la derivabilità di una funzione. Una funzione è continua e quindi è derivabile, ma non è vero il contrario, cioè che una funzione derivabile sia continua. Spero di essere stato chiaro.
Dovrei avere qualche appunto su come verificare se una funzione è lipschitziana esaminando i suoi asintoti. Molto utile il link per il teorema della farfalla.
Dovrei avere qualche appunto su come verificare se una funzione è lipschitziana esaminando i suoi asintoti. Molto utile il link per il teorema della farfalla.
Metodi per dimostrare che la funzione è lipschitziana? E' vero che vedere che la derivata è limitata implica anche quello?
Ho rivisto i miei appunti. Esiste un'altra condizione sufficiente per esaminare la continuità uniforme di una funzione. Si chiama comunemente "teorema dell'asintoto". In pratica, se la funzione è dotata di asintoto orizzontale od obliquo nell'intervallo $[0,+\infty[$, allora la funzione è uniformemente continua. Ti basterà quindi vedere se la funzione è dotata di asintoto in questo intervallo, per vedere se esiste la continuità uniforme per la funzione.
Ribadisco che è una condizione sufficiente, ma non necessaria.
Qui trovi qualcosa: http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... t_unif.htm
Ribadisco che è una condizione sufficiente, ma non necessaria.
Qui trovi qualcosa: http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... t_unif.htm
@.Dev.: Dire che una funzione è Lipschitziana equivale a dire che i propri rapporti incrementali sono limitati, se ci pensi un attimo. Quindi se la funzione è derivabile, passando al limite ottieni che:
una funzione derivabile in un intervallo è Lipschitziana se e solo se la derivata prima è limitata. In questo caso inoltre, il sup del modulo della derivata prima è una costante di Lipschitz valida.
una funzione derivabile in un intervallo è Lipschitziana se e solo se la derivata prima è limitata. In questo caso inoltre, il sup del modulo della derivata prima è una costante di Lipschitz valida.
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