Dimostrare una formula

[Chiò1]

Ciao ragazzi, oggi ho un quesito un po' più articolato da proporvi, dovrei dimostrare una formula però non so come procedere, vorrei trovare la strada più semplice possibile. Devo dimostrare che vale:
$(1+i)^t>(1+i)/(1+i-it)$ per valori di: $0 e poi che vale la diseguaglianza inversa per $t>1$
mi dareste una mano? è molto importante ragazzi perché da questa dimostrazione devo sviluppare tutto un lungo discorso...
ps: la variabile è t mentre i è una costante positiva

[gugo82]

Idee tue?

Sei sicuro di $i+i$ nel primo membro?

[Chiò1]

Errore di battitura, ho modificato. Mah sinceramente avevo iniziato così:
$1+i-it>(1+i)/(1+i)^t$
$1+i-it>(1+i)^(1-t)$
$(1+i)^(1-t)<1+i(1-t)$
e da qui non saprei come continuare, credo che lo scopo sia trovare il valore di t così da verificare se vale la tesi

[gugo82]

Beh, no, mi sa che hai frainteso lo scopo.

Quello che devi fare è provare che per ogni \(t\in ]0,1[\) hai:
\[
(1+i)^t > \frac{1+i}{1+i-ti}\; ,
\]
ed analogo discorso, con il verso scambiato, per la seconda disuguaglianza.

[Chiò1]

e come posso fare?

[gugo82]

Determinazione dell'estremo inferiore di un insieme?
Studio di funzione?
Confronto di soluzioni di equazioni differenziali?

Tutti metodi che possono essere usati, almeno in linea di principio, per risolvere il tuo problema.

[Chiò1]

Ne basta uno, se studiassi la funzione come potrei dimostrare che tutti i valori di t compresi fra 0 e 1 soddisfano la disuguaglianza?