Dimostrare una disuguaglianza integrale
Salve a tutti,spero che qualcuno mi possa aiutare......il problema è questo:
Data
$f(x)=a_0+a_1 x^2+a_2 x^4+.......+a_n x^{2n}$
con $n$$in$$NN$, $a_0,a_1,....,a_n$ numeri reali tali che
$\sum_{k=0}^\n\a_k^2=1$
dimostrare che
$\int_0^1|f(x)|dx<=frac{\pi}{sqrt(8)}$
io inizio cosi:(disuguaglianza triangolare)
$|f(x)|=|a_0+a_1 x^2+a_2 x^4+.......+a_n x^{2n}|<=|a_0|+|a_1| |x|^2+|a_2| |x|^4+.......+|a_n| |x|^{2n}$
per ipotesi del problema: $\sum_{k=0}^\n\a_k^2=1$ questo significa che
$|a_k|<=1$ dove $k=0,1,..,n$
allora
$|f(x)|=|a_0+a_1 x^2+a_2 x^4+.......+a_n x^{2n}|<=|a_0|+|a_1| |x|^2+|a_2| |x|^4+.......+|a_n| |x|^{2n}
<= 1+ |x|^2+|x|^4+.......+|x|^{2n}$
poichè: $f(x)<=g(x) =>\int_a^bf(x)dx<=\int_a^bg(x)dx$
allora
$\int_0^1|f(x)|dx<=\int_0^1(1+ |x|^2+|x|^4+.......+|x|^{2n})dx$
integrando ottengo:
$\int_0^1|f(x)|dx<=1+frac{1}{3}+frac{1}{5}+frac{1}{7}+...+frac{1}{2n+1}$
e da qui non so andare avanti( a parte gli errori per arrivare qui,se qualcuno ne trova è pregato di dirmelo)
spero che qualcuno mi sappia aiutare
Data
$f(x)=a_0+a_1 x^2+a_2 x^4+.......+a_n x^{2n}$
con $n$$in$$NN$, $a_0,a_1,....,a_n$ numeri reali tali che
$\sum_{k=0}^\n\a_k^2=1$
dimostrare che
$\int_0^1|f(x)|dx<=frac{\pi}{sqrt(8)}$
io inizio cosi:(disuguaglianza triangolare)
$|f(x)|=|a_0+a_1 x^2+a_2 x^4+.......+a_n x^{2n}|<=|a_0|+|a_1| |x|^2+|a_2| |x|^4+.......+|a_n| |x|^{2n}$
per ipotesi del problema: $\sum_{k=0}^\n\a_k^2=1$ questo significa che
$|a_k|<=1$ dove $k=0,1,..,n$
allora
$|f(x)|=|a_0+a_1 x^2+a_2 x^4+.......+a_n x^{2n}|<=|a_0|+|a_1| |x|^2+|a_2| |x|^4+.......+|a_n| |x|^{2n}
<= 1+ |x|^2+|x|^4+.......+|x|^{2n}$
poichè: $f(x)<=g(x) =>\int_a^bf(x)dx<=\int_a^bg(x)dx$
allora
$\int_0^1|f(x)|dx<=\int_0^1(1+ |x|^2+|x|^4+.......+|x|^{2n})dx$
integrando ottengo:
$\int_0^1|f(x)|dx<=1+frac{1}{3}+frac{1}{5}+frac{1}{7}+...+frac{1}{2n+1}$
e da qui non so andare avanti( a parte gli errori per arrivare qui,se qualcuno ne trova è pregato di dirmelo)
spero che qualcuno mi sappia aiutare
Risposte
Un appunto e un consiglio. Se ti trovi nel campo dei numeri reali è inutile scrivere $|x|^(2n)$ in quanto quel numero sarà sempre positivo. il consiglio è quello di sfruttare la seguente sommatoria notevole:
$\sum_(k=0)^\infty(1/(2k+1))^2=\pi^2/8$
$\sum_(k=0)^\infty(1/(2k+1))^2=\pi^2/8$
grazie del'appunto,ma per quanto rigurda il consiglio,come faccio a sfruttare quella somma per il mio problema?
"pietroing":
grazie del'appunto,ma per quanto rigurda il consiglio,come faccio a sfruttare quella somma per il mio problema?
Io ho usato, a partire dal suggerimento di K.Lomax, la dis. tra media quadratica e aritmetica.
Non ti tolgo il gusto di arrivarci da solo, ma se non riesci ti illustro il mio procedimento.
Ciao steven,
anche grazie al suggerimento di k.lomax,ho risolto utilizzando la disuguaglianza di Cauchy,però sono curioso del tuo metodo di risoluzione
anche grazie al suggerimento di k.lomax,ho risolto utilizzando la disuguaglianza di Cauchy,però sono curioso del tuo metodo di risoluzione
Va bene.
Poi semmai ricambia il favore mostrando pure la tua
Due antefatti:
i) dis media quadratica e media aritmetica
$(frac{x_1^2+x_2^2+...+x_k^2}{k})^(1/2)>=frac{x_1+x_2+...+x_k}{k}$
ii)
$1/1^2+1/3^2+...+1/(2k+1)^2
Ciò detto, uso la diseguaglianza i) considerando le medie di dei termini $1/1^2$,$1/3^2$,...,$1/(2k+1)^2$
$(frac{1/1^2+1/3^2+...+1/(2k-1)^2}{k})^(1/2)>=frac{1/1+1/3+...+1/(2k-1)}{k}$
ovvero
$1/1+1/3+...+1/(2k-1)<=k^(1/2)*(1/1^2+1/3^2+...+1/(2k-1)^2)^(1/2)$ (avendo moltiplicato per $k$ e semplificato)
ma posso ancora maggiorare grazie alla ii)
$k^(1/2)*(1/1^2+1/3^2+...+1/(2k-1)^2)^(1/2)<(k)^(1/2)*(pi^2/8)^(1/2)<=(pi^2/8)^(1/2)=pi/sqrt8$
da cui che l'integrale richiesto è minore di $pi/(sqrt8)$
Piuttosto notavo che i miei passaggi portano ad una dis. stretta.
Qualcuno ha qualche commento in proposito?
Ciao!
Poi semmai ricambia il favore mostrando pure la tua
Due antefatti:
i) dis media quadratica e media aritmetica
$(frac{x_1^2+x_2^2+...+x_k^2}{k})^(1/2)>=frac{x_1+x_2+...+x_k}{k}$
ii)
$1/1^2+1/3^2+...+1/(2k+1)^2
Ciò detto, uso la diseguaglianza i) considerando le medie di dei termini $1/1^2$,$1/3^2$,...,$1/(2k+1)^2$
$(frac{1/1^2+1/3^2+...+1/(2k-1)^2}{k})^(1/2)>=frac{1/1+1/3+...+1/(2k-1)}{k}$
ovvero
$1/1+1/3+...+1/(2k-1)<=k^(1/2)*(1/1^2+1/3^2+...+1/(2k-1)^2)^(1/2)$ (avendo moltiplicato per $k$ e semplificato)
ma posso ancora maggiorare grazie alla ii)
$k^(1/2)*(1/1^2+1/3^2+...+1/(2k-1)^2)^(1/2)<(k)^(1/2)*(pi^2/8)^(1/2)<=(pi^2/8)^(1/2)=pi/sqrt8$
da cui che l'integrale richiesto è minore di $pi/(sqrt8)$
Piuttosto notavo che i miei passaggi portano ad una dis. stretta.
Qualcuno ha qualche commento in proposito?
Ciao!
Ciao steven,
il fatto che tu dimostri una disuglianza stretta è una semplice conseguenza del fatto più grave che la tua dimostrazione crolla proprio nell'ultimo
passaggio:
$k^frac{1}{2}*(frac{1}{1^2}+frac{1}{3^2}+...+frac{1}{2k+1^2})^frac{1}{2}
fin qui tutto ok,ma poi tu dici che
$k^frac{1}{2}*(frac{\pi^2}{8})^frac{1}{2}<=(frac{\pi^2}{8})^frac{1}{2}$
ma questa è vera solo per k=1(c'è proprio uguaglinza stretta),non è vera per ogni k fissato,come deve essere,in realtà tu hai dimostrato solo che
$\int_0^1|f(x)|dx
per risolvere il problema si deve cambiare un pò l'approccio:(questo lo devo ad un certo salvo.tringali del forum scienzematematiche.it)
per la disuglianza triangolare è vero che
$ \int_0^1 |f(x)|dx<=sum_{k=0}^n \(|a_k|^2*int_0^1 x^{2k}dx) = \sum_{k=0}^n \frac{|a_k|}{2k+1}$
per la disuguaglianza di Cauchy è vero che
$(\sum_{k=0}^n \frac{|a_k|}{2k+1}\right)^2 \<= (sum_{k=0}^n |a_k|^2)(sum_{k=0}^n \frac{1}{(2k+1)^2}) =
$sum_{k=0}^n \frac{1}{(2k+1)^2} < \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{(2k+1)^2} = frac{\pi^2}{8}$
poichè per ipotesi $sum_{k=0}^n |a_k|^2 = \sum_{k=0}^n a_k^2 = 1$ allora $sum_{k=0}^n \frac{|a_k|}{2k+1} < \frac{\pi}{\sqrt{8}}$
da qui segue la tesi.
il fatto che tu dimostri una disuglianza stretta è una semplice conseguenza del fatto più grave che la tua dimostrazione crolla proprio nell'ultimo
passaggio:
$k^frac{1}{2}*(frac{1}{1^2}+frac{1}{3^2}+...+frac{1}{2k+1^2})^frac{1}{2}
fin qui tutto ok,ma poi tu dici che
$k^frac{1}{2}*(frac{\pi^2}{8})^frac{1}{2}<=(frac{\pi^2}{8})^frac{1}{2}$
ma questa è vera solo per k=1(c'è proprio uguaglinza stretta),non è vera per ogni k fissato,come deve essere,in realtà tu hai dimostrato solo che
$\int_0^1|f(x)|dx
per risolvere il problema si deve cambiare un pò l'approccio:(questo lo devo ad un certo salvo.tringali del forum scienzematematiche.it)
per la disuglianza triangolare è vero che
$ \int_0^1 |f(x)|dx<=sum_{k=0}^n \(|a_k|^2*int_0^1 x^{2k}dx) = \sum_{k=0}^n \frac{|a_k|}{2k+1}$
per la disuguaglianza di Cauchy è vero che
$(\sum_{k=0}^n \frac{|a_k|}{2k+1}\right)^2 \<= (sum_{k=0}^n |a_k|^2)(sum_{k=0}^n \frac{1}{(2k+1)^2}) =
$sum_{k=0}^n \frac{1}{(2k+1)^2} < \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{(2k+1)^2} = frac{\pi^2}{8}$
poichè per ipotesi $sum_{k=0}^n |a_k|^2 = \sum_{k=0}^n a_k^2 = 1$ allora $sum_{k=0}^n \frac{|a_k|}{2k+1} < \frac{\pi}{\sqrt{8}}$
da qui segue la tesi.
"pietroing":
Ciao steven,
il fatto che tu dimostri una disuglianza stretta è una semplice conseguenza del fatto più grave che la tua dimostrazione crolla proprio nell'ultimo
passaggio:
E' vero, ho compiuto una leggerezza imperdonabile oltre un risultato banalmente falso (il $sqrtk$ doveva stare di là, o il verso della dis. invertito, ma a quel punto a poco serviva).
Pazienza.
Bella la dim. proposta, come d'altra parte è nello stile di salvo.tringali.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo