Dimostrare una disequazione col principio di induzione
\(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}: \ (1+\sqrt{2})^n \geq 1+\sqrt{2}n \)
Allora, verifico se la proposizione è vera per n=0: vero!
Ora affermiamo che la tesi è vera per n: \(\displaystyle \ (1+\sqrt{2})^n \geq 1+\sqrt{2}n \)
Dobbiamo quindi dimostrare che la tesi è vera per n + 1: \(\displaystyle (1+\sqrt{2})^{n+1} \geq 1+\sqrt{2}(n+1) \)
Partiamo dal presupposto che \(\displaystyle (1+\sqrt{2})^{n+1} = (1+\sqrt{2})^n \cdot (1+\sqrt{2}) \) siamo riusciti ad avere l'equazione di sinistra originale. Il problema è che mi incasino con il passaggio successivo:
\(\displaystyle (1+\sqrt{2})^{n+1} = (1+\sqrt{2})^n \cdot (1+\sqrt{2}) \geq (1+\sqrt{2}n) \cdot (1+\sqrt{2}) \geq (2n+1) + \sqrt{2}(n+1) \geq 1+\sqrt{2}(n+1)\)
Cioè vedo quest'espressione di una riga e faccio difficoltà a capire da dove viene tutta quella roba, perchè c'è una serie di espressioni con tanti \(\displaystyle \geq \)
Riesco a risolvere le equazioni col principio di induzione, ma le disequazioni proprio no
Allora, verifico se la proposizione è vera per n=0: vero!
Ora affermiamo che la tesi è vera per n: \(\displaystyle \ (1+\sqrt{2})^n \geq 1+\sqrt{2}n \)
Dobbiamo quindi dimostrare che la tesi è vera per n + 1: \(\displaystyle (1+\sqrt{2})^{n+1} \geq 1+\sqrt{2}(n+1) \)
Partiamo dal presupposto che \(\displaystyle (1+\sqrt{2})^{n+1} = (1+\sqrt{2})^n \cdot (1+\sqrt{2}) \) siamo riusciti ad avere l'equazione di sinistra originale. Il problema è che mi incasino con il passaggio successivo:
\(\displaystyle (1+\sqrt{2})^{n+1} = (1+\sqrt{2})^n \cdot (1+\sqrt{2}) \geq (1+\sqrt{2}n) \cdot (1+\sqrt{2}) \geq (2n+1) + \sqrt{2}(n+1) \geq 1+\sqrt{2}(n+1)\)
Cioè vedo quest'espressione di una riga e faccio difficoltà a capire da dove viene tutta quella roba, perchè c'è una serie di espressioni con tanti \(\displaystyle \geq \)
Riesco a risolvere le equazioni col principio di induzione, ma le disequazioni proprio no
Risposte
Non ho capito cosa non va in quella catena di disequazioni. Sicuramente è corretta, cosa non capisci?
Dal primo membro al secondo usa l'induzione, dal secondo al terzo semplicemente svolge i conti, la terzo al quarto nota solo che $2n>0$, quindi $2n+1>1$.
Dal primo membro al secondo usa l'induzione, dal secondo al terzo semplicemente svolge i conti, la terzo al quarto nota solo che $2n>0$, quindi $2n+1>1$.
Premetto che sono studente come te, quindi vediamo cosa riesco a fare... 
Procediamo con calma.
Come hai detto tu supponiamo che $(1+sqrt(2))^n>=1+sqrt(2)n$ [1]
dobbiamo dimostrare che
$(1+sqrt(2))^(n+1)>=1+sqrt(2)(n+1)$ [2]
dunque riconsiderando la [1] e moltiplicando ambo i membri per $(1+sqrt(2))$ otteniamo
$(1+sqrt(2))^(n)*(1+sqrt(2))>=(1+sqrt(2)n)*(1+sqrt(2))$ [3]
quello al primo membro lo riconosciamo: è proprio $(1+sqrt(2))^(n+1)$
al secondo membro invece otteniamo $1+sqrt(2)+sqrt(2)n+2n$ giusto? [4]
dal secondo membro della [2] abbiamo che $1+sqrt(2)(n+1)=1+sqrt(2)n+sqrt(2)$
cosa notiamo? quest'ultima quantità è certamente inferiore di [4] infatti basta trascrivere e semplificare
$1+sqrt(2)+sqrt(2)n+2n>=1+sqrt(2)n+sqrt(2)$ [5]
dunque
$(1+sqrt(2))^(n+1)=(1+sqrt(2))^(n)*(1+sqrt(2))>=(1+sqrt(2)n)*(1+sqrt(2))>=1+sqrt(2)(n+1)$
$c.v.d$
potrebbe funzionare? vediamo cosa dicono i veterani...
Procediamo con calma.
Come hai detto tu supponiamo che $(1+sqrt(2))^n>=1+sqrt(2)n$ [1]
dobbiamo dimostrare che
$(1+sqrt(2))^(n+1)>=1+sqrt(2)(n+1)$ [2]
dunque riconsiderando la [1] e moltiplicando ambo i membri per $(1+sqrt(2))$ otteniamo
$(1+sqrt(2))^(n)*(1+sqrt(2))>=(1+sqrt(2)n)*(1+sqrt(2))$ [3]
quello al primo membro lo riconosciamo: è proprio $(1+sqrt(2))^(n+1)$
al secondo membro invece otteniamo $1+sqrt(2)+sqrt(2)n+2n$ giusto? [4]
dal secondo membro della [2] abbiamo che $1+sqrt(2)(n+1)=1+sqrt(2)n+sqrt(2)$
cosa notiamo? quest'ultima quantità è certamente inferiore di [4] infatti basta trascrivere e semplificare
$1+sqrt(2)+sqrt(2)n+2n>=1+sqrt(2)n+sqrt(2)$ [5]
dunque
$(1+sqrt(2))^(n+1)=(1+sqrt(2))^(n)*(1+sqrt(2))>=(1+sqrt(2)n)*(1+sqrt(2))>=1+sqrt(2)(n+1)$
$c.v.d$
potrebbe funzionare? vediamo cosa dicono i veterani...
Grazie, grazie grazie grazie. Credo di aver capito! 
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