Dimostrare una disequazione
Ciao a tutti, oggi ho fatto il mio esame di analisi e non sono riuscito a svolgere questo esercizio :
"Dimostrare che $ e^{x} > x+1 $
alcuni miei amici lo hanno dimostrato semplicemente dando dei valori arbitrari, ma penso ci siano da applicare dei teoremi o disuguaglianze particolari....
grazie mille in anticipo
"Dimostrare che $ e^{x} > x+1 $
alcuni miei amici lo hanno dimostrato semplicemente dando dei valori arbitrari, ma penso ci siano da applicare dei teoremi o disuguaglianze particolari....
grazie mille in anticipo
Risposte
è per caso $e^x >= x+1$ ?
Ah adesso è comparso...
Io penso al teorema di Lagrange...tu cosa ne pensi?
Ah adesso è comparso...
Io penso al teorema di Lagrange...tu cosa ne pensi?
In termini prettamente logici e^x è la funzione che cresce più "velocemente" di tutti.
Oppure con qualche semplice considerazione sulla concavità della funzione $e^x$...
Comunque ci vuole l'uguale, come scrive giustamente qwerty.
Comunque ci vuole l'uguale, come scrive giustamente qwerty.
"PNiowa":
In termini prettamente logici e^x è la funzione che cresce più "velocemente" di tutti.
Scusa, ma questo ti garantisce solamente che $e^x >= 1 + x$ da un certo punto $x_0$ in poi (in un intorno di $+oo$). Cosa ne dici?
Io dico la mia..
$e^x=1+x$ se parliamo dello sviluppo notevole di Taylor, al primo ordine.
Non si potrebbe fare graficamente?
Oppure intuitivamente metterei la disequazione così:
$log(e)^x>log(x+1)$
$x>log(x+1)$ sempre verificato perchè il logaritmo potrebbe essere linearizzato con un stima asintotica in un determinato intorno di $x$
sono idee, non so se vanno bene
$e^x=1+x$ se parliamo dello sviluppo notevole di Taylor, al primo ordine.
Non si potrebbe fare graficamente?
Oppure intuitivamente metterei la disequazione così:
$log(e)^x>log(x+1)$
$x>log(x+1)$ sempre verificato perchè il logaritmo potrebbe essere linearizzato con un stima asintotica in un determinato intorno di $x$
sono idee, non so se vanno bene
"clever":
$x>log(x+1)$ sempre verificato perchè il logaritmo potrebbe essere linearizzato con un stima asintotica in un determinato intorno di $x_>0$
sono idee, non so se vanno bene
Secondo me qui commetti qualche errore. Potresti spiegarti meglio?
Credo di aver detto una baggianata...
"Seneca":
[quote="PNiowa"]In termini prettamente logici e^x è la funzione che cresce più "velocemente" di tutti.
Scusa, ma questo ti garantisce solamente che $e^x >= 1 + x$ da un certo punto $x_0$ in poi (in un intorno di $+oo$). Cosa ne dici?[/quote]
Quindi, in 0 le due funzioni assumono lo stesso valore.
L'ordine di infinito di $e^x$ è maggiore di quello di $x+$, quindi in un intorno di infinito la disequazione è verificata.
In 0+ il limite del rapporto tra $e^x/(x+1)$ fa $1$, quindi le due funzioni hanno lo stesso ordine di infinitesimo. Stessa cosa in 0-.
Non esiste un teorema che metta assieme tutta questa roba?
Non vorrei aver detto una baggianata...
"Amir90":E allora non hanno dimostrato proprio niente. Inoltre credo che il segno sia di minore o uguale e non di minore stretto, a meno di escludere il caso $x=0$.
alcuni miei amici lo hanno dimostrato semplicemente dando dei valori arbitrari
Una possibile dimostrazione veloce passa dalla convessità della funzione esponenziale. Infatti la retta di equazione $y=x+1$ è proprio la retta tangente al grafico di $e^x$ nel punto di ascissa $x=0$. Una proprietà delle funzioni convesse è quella di "stare sopra" alla propria retta tangente in ogni punto; in particolare, analiticamente, la disuguaglianza in questione.
Se poi uno non si ricorda o non conosce la teoria delle funzioni convesse, può procedere con uno studio di funzione: la disuguaglianza data è equivalente alla $e^x-x-1>0$, quindi ci si riconduce a studiare la funzione $x\in RR \mapsto e^x-x-1$ e dimostrare che essa è sempre positiva.
Sugli altri metodi di risoluzione che sono stati proposti condivido le perplessità di Seneca.
[quote=PNiowa]
In 0+ il limite del rapporto tra $e^x/(x+1)$ fa $1$, quindi le due funzioni hanno lo stesso ordine di infinitesimo. Stessa cosa in 0-.
quote]
ecco è questo che volevo dire xD
stesso ordine di infinitesimo.
io non escluderei il disegnare queste due funzioni, e poi scrivere tutte le osservazioni fin qui fatte..
In 0+ il limite del rapporto tra $e^x/(x+1)$ fa $1$, quindi le due funzioni hanno lo stesso ordine di infinitesimo. Stessa cosa in 0-.
quote]
ecco è questo che volevo dire xD
stesso ordine di infinitesimo.
io non escluderei il disegnare queste due funzioni, e poi scrivere tutte le osservazioni fin qui fatte..
"Amir90":
"Dimostrare che $ e^{x} > x+1 $
Studia la funzione $f(x) = e^x -x -1$. Agli estremi del dominio ($RR$) hai che:
$lim_{x \rarr +infty}f(x) = +\infty = lim_{x \rarr -infty}f(x)$.
Infine, $f'(x) = e^x -1$ ti da l'unico punto di minimo relativo (che per quanto visto agli estremi è anche minimo assoluto) $x = 0$.
Segue che $\forall x \in RR$, $f(x) \geq f(0) = 0$ che è proprio la tesi...
Edit: anticipato da Dissonance
"PNiowa":
[quote="Seneca"][quote="PNiowa"]In termini prettamente logici e^x è la funzione che cresce più "velocemente" di tutti.
Scusa, ma questo ti garantisce solamente che $e^x >= 1 + x$ da un certo punto $x_0$ in poi (in un intorno di $+oo$). Cosa ne dici?[/quote]
Quindi, in 0 le due funzioni assumono lo stesso valore.
L'ordine di infinito di $e^x$ è maggiore di quello di $x+$, quindi in un intorno di infinito la disequazione è verificata.
In 0+ il limite del rapporto tra $e^x/(x+1)$ fa $1$, quindi le due funzioni hanno lo stesso ordine di infinitesimo. Stessa cosa in 0-.
Non esiste un teorema che metta assieme tutta questa roba?
Non vorrei aver detto una baggianata...[/quote]
Beh direi di no, altrimenti potremmo concludere anche che vale sempre $x \geq sinx$ che non è proprio vera...
"clever":
[quote="PNiowa"]
In 0+ il limite del rapporto tra $e^x/(x+1)$ fa $1$, quindi le due funzioni hanno lo stesso ordine di infinitesimo. Stessa cosa in 0-.
ecco è questo che volevo dire xD
stesso ordine di infinitesimo.
[/quote]
Mi chiedo... Come fanno ad avere lo stesso ordine di infinitesimo se infinitesime non sono?
"Seneca":
[quote="clever"][quote="PNiowa"]
In 0+ il limite del rapporto tra $e^x/(x+1)$ fa $1$, quindi le due funzioni hanno lo stesso ordine di infinitesimo. Stessa cosa in 0-.
ecco è questo che volevo dire xD
stesso ordine di infinitesimo.
[/quote]
Mi chiedo... Come fanno ad avere lo stesso ordine di infinitesimo se infinitesime non sono?[/quote]
Oh cielo, hai ragione. Chiedo scusa.
"dissonance":E allora non hanno dimostrato proprio niente. Inoltre credo che il segno sia di minore o uguale e non di minore stretto, a meno di escludere il caso $x=0$.
[quote="Amir90"]alcuni miei amici lo hanno dimostrato semplicemente dando dei valori arbitrari
Una possibile dimostrazione veloce passa dalla convessità della funzione esponenziale. Infatti la retta di equazione $y=x+1$ è proprio la retta tangente al grafico di $e^x$ nel punto di ascissa $x=0$. Una proprietà delle funzioni convesse è quella di "stare sopra" alla propria retta tangente in ogni punto; in particolare, analiticamente, la disuguaglianza in questione.
Se poi uno non si ricorda o non conosce la teoria delle funzioni convesse, può procedere con uno studio di funzione: la disuguaglianza data è equivalente alla $e^x-x-1>0$, quindi ci si riconduce a studiare la funzione $x\in RR \mapsto e^x-x-1$ e dimostrare che essa è sempre positiva.
Sugli altri metodi di risoluzione che sono stati proposti condivido le perplessità di Seneca.[/quote]
sarebbe un ottima soluzione, considerando che le funzioni non sono infinitesime in 0 quindi non è possibile sfruttare le proprietà di essi... e poi cmq le serie di Taylor non erano tra gli argomenti di questo esame quindi sono da escludere come soluzione anche se giusta...
Ma guardate ragazzi che gli sviluppi di Taylor qui non c'entrano granché. Si tratta infatti di approssimazioni locali delle funzioni, ma qui è richiesto di dimostrare una disuguaglianza globale, valida cioè in un intervallo prefissato (nello specifico tutto $RR$) e non in un intorno di qualche punto. Questa considerazione generale porta uno a ragionare verso altri lidi che non siano gli sviluppi di Taylor, al massimo si può usarli per mostrare che $"exp"$ è convessa, per poi ingranare con i teoremi sulla convessità che invece, questa sì, ha carattere globale.
Con questo non voglio dire che in generale "sia impossibile" o che "sia sbagliato" pensare agli sviluppi di Taylor in presenza di problemi globali; dico solo che qui non mi pare proprio il caso di tirarli fuori dal cassetto, visto che abbiamo strumenti molto più consoni.
Con questo non voglio dire che in generale "sia impossibile" o che "sia sbagliato" pensare agli sviluppi di Taylor in presenza di problemi globali; dico solo che qui non mi pare proprio il caso di tirarli fuori dal cassetto, visto che abbiamo strumenti molto più consoni.
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