Dimostrare un limite
Salve, ho la funzione $f(x,y)=(x^2+x|y|)/(sqrt(x^2+y^2))$. Devo calcolarne il limite per $(x,y)->(0,0)$. Restringendo alle rette per l'origine, arrivo a concludere che, se il limite esiste, è zero. Quindi provo a dimostrare se il limite è effettivamente zero. Riscrivendo la funzione in coordinate polari, ottengo: $(r^2*(cos a)^2+r*cos(a)*|r*sin a|)/r$, che equivale a
$r*(cos a)^2+(cos a)*|r(sin a)|$; ora, se scrivo $|(r*(cos a)^2+(cos a)*|r(sin a)|)-0|=|r*(cos a)^2+cos a*(|r||sin a|)|=|r((cos a)^2+(cos a)|sin a|)|<=|r((cos a)^2+cos a)|<=b|r|$, con $b>2$, dovrei aver finito. Infatti, siccome quando $r$ tende a zero $b|r|$ tende a zero, il limite dovrebbe essere dimostrato e quindi è zero. Volevo sapere se erano corrette le maggiorazioni. $r$, essendo una distanza, è ovviamente positivo. Grazie mille.
$r*(cos a)^2+(cos a)*|r(sin a)|$; ora, se scrivo $|(r*(cos a)^2+(cos a)*|r(sin a)|)-0|=|r*(cos a)^2+cos a*(|r||sin a|)|=|r((cos a)^2+(cos a)|sin a|)|<=|r((cos a)^2+cos a)|<=b|r|$, con $b>2$, dovrei aver finito. Infatti, siccome quando $r$ tende a zero $b|r|$ tende a zero, il limite dovrebbe essere dimostrato e quindi è zero. Volevo sapere se erano corrette le maggiorazioni. $r$, essendo una distanza, è ovviamente positivo. Grazie mille.
Risposte
Ciao!
Quando studiare la restrizione della funzione f a tutte le rette del fascio fascio passante per $P_0=(x_0,y_0)larr(x,y)$
dà "pesanti indizi" sulla convergenza della stessa,
io preferisco provare inizialmente con opportune maggiorazioni su f:
magari saltano fuori cose interessanti per poter applicare qualcuno dei teoremi di confronto..
Nel caso specifico,ad esempio,avrei osservato che
$0<=|f(x,y)|=|(x^2+x|y|)/sqrt(x^2+y^2)|<=(|x|^2+|x||y|)/sqrt(x^2+y^2)=$
$=|x|/sqrt(x^2+y^2)(|x|+|y|)<=|x|+|y|$ $AA(x,y)inRR^2- {(0,0)}$
(l'ultimo passaggio di questa catena di disuguaglianze è giustificato dal fatto che dall'ovvia relazione
$0<=x^2<=x^2+y^2$ $AA(x,y)inRR^2$ salta fuori $0<=|x|/sqrt(x^2+y^2)<=1$ $AA(x,y)inRR^2- {(0,0)}$):
a questo punto applichi il teorema dei due carabinieri,ed il gioco è fatto..
Questione di gusti:
saluti dal web.
Quando studiare la restrizione della funzione f a tutte le rette del fascio fascio passante per $P_0=(x_0,y_0)larr(x,y)$
dà "pesanti indizi" sulla convergenza della stessa,
io preferisco provare inizialmente con opportune maggiorazioni su f:
magari saltano fuori cose interessanti per poter applicare qualcuno dei teoremi di confronto..
Nel caso specifico,ad esempio,avrei osservato che
$0<=|f(x,y)|=|(x^2+x|y|)/sqrt(x^2+y^2)|<=(|x|^2+|x||y|)/sqrt(x^2+y^2)=$
$=|x|/sqrt(x^2+y^2)(|x|+|y|)<=|x|+|y|$ $AA(x,y)inRR^2- {(0,0)}$
(l'ultimo passaggio di questa catena di disuguaglianze è giustificato dal fatto che dall'ovvia relazione
$0<=x^2<=x^2+y^2$ $AA(x,y)inRR^2$ salta fuori $0<=|x|/sqrt(x^2+y^2)<=1$ $AA(x,y)inRR^2- {(0,0)}$):
a questo punto applichi il teorema dei due carabinieri,ed il gioco è fatto..
Questione di gusti:
saluti dal web.
"theras":
Ciao!
Quando studiare la restrizione della funzione f a tutte le rette del fascio fascio passante per $P_0=(x_0,y_0)larr(x,y)$
dà "pesanti indizi" sulla convergenza della stessa,
io preferisco provare inizialmente con opportune maggiorazioni su f:
magari saltano fuori cose interessanti per poter applicare qualcuno dei teoremi di confronto..
Nel caso specifico,ad esempio,avrei osservato che
$0<=|f(x,y)|=|(x^2+x|y|)/sqrt(x^2+y^2)|<=(|x|^2+|x||y|)/sqrt(x^2+y^2)=$
$=|x|/sqrt(x^2+y^2)(|x|+|y|)<=|x|+|y|$ $AA(x,y)inRR^2- {(0,0)}$
(l'ultimo passaggio di questa catena di disuguaglianze è giustificato dal fatto che dall'ovvia relazione
$0<=x^2<=x^2+y^2$ $AA(x,y)inRR^2$ salta fuori $0<=|x|/sqrt(x^2+y^2)<=1$ $AA(x,y)inRR^2- {(0,0)}$):
a questo punto applichi il teorema dei due carabinieri,ed il gioco è fatto..
Questione di gusti:
saluti dal web.
Ok, quindi anche come ho fatto io va bene, vero?
Per quanto riguarda il tuo procedimento, alla fine devo dire che:
"Siccome quando $x,y->0,0$ la funzione $|x|+|y|$, (CHE E' CONTINUA), tende a zero (questa cosa la posso dire proprio perchè è continua vero?), la funzione di partenza rimane costretta fra due quantità, una che è nulla e l'altra che tende a zero, dunque deve necessariamente tendere a zero. E' corretto? Ti ringrazio
.
Ciao!
Certo che il passagio in coordinate polari và bene
(anche se vorrei esser sicuro di come ho ragione d'essere ottimista nel credere che hai ben capito il perchè..),
come d'altronde mi sembra corretto quel che avevi scritto nel post iniziale;
il mio è solo un metodo alternativo per portarti a riflettere,bene e senza sbavature come hai fatto,
su idee che possono tornarti utili:
d'altronde se un ingegnere meccanico non ha massima familiarità e capacità d'interpretazione nei ragionamenti,
finisce che s'ingrippano i motori
!
Saluti dal web.
Certo che il passagio in coordinate polari và bene
(anche se vorrei esser sicuro di come ho ragione d'essere ottimista nel credere che hai ben capito il perchè..),
come d'altronde mi sembra corretto quel che avevi scritto nel post iniziale;
il mio è solo un metodo alternativo per portarti a riflettere,bene e senza sbavature come hai fatto,
su idee che possono tornarti utili:
d'altronde se un ingegnere meccanico non ha massima familiarità e capacità d'interpretazione nei ragionamenti,
finisce che s'ingrippano i motori
!Saluti dal web.
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