Dimostrare un integrale con l'induzione
Salve!
Sono alle prese con questo esercizio, ma non saprei come procedere..-
Dimostrare per induzione che
$ int_(0)^(+oo) x^n*e^(-x) dx = n! $
Sono alle prese con questo esercizio, ma non saprei come procedere..-
Dimostrare per induzione che
$ int_(0)^(+oo) x^n*e^(-x) dx = n! $
Risposte
Ciao Elagabalus04, benvenut* sul forum!
In che senso non sai come procedere? Dove ti blocchi? Il principio di induzione inizia con una richiesta ben specifica: quanto vale $\int_0^{+\infty} x^0 e^{-x} \text{d}x$? E quanto vale $0!$?
Inoltre, una nota terminologica: gli integrali non si "dimostrano", si calcolano. Al più, qui ha senso richiedere "Dimostrare che vale l'uguaglianza..."
In che senso non sai come procedere? Dove ti blocchi? Il principio di induzione inizia con una richiesta ben specifica: quanto vale $\int_0^{+\infty} x^0 e^{-x} \text{d}x$? E quanto vale $0!$?
Inoltre, una nota terminologica: gli integrali non si "dimostrano", si calcolano. Al più, qui ha senso richiedere "Dimostrare che vale l'uguaglianza..."
Ciao Elagabalus04,
Ponendo $I_n := \int_0^(+\infty) x^n e^(-x) \text{d}x $ devi dimostrare che $I_n = n! $
Per $n = 0 $ si ottiene $I_0 $ che è l'integrale che ti ha già scritto Mephlip che si calcola elementarmente: devi far vedere che $I_0 = 0!$
Ponendo $I_n := \int_0^(+\infty) x^n e^(-x) \text{d}x $ devi dimostrare che $I_n = n! $
Per $n = 0 $ si ottiene $I_0 $ che è l'integrale che ti ha già scritto Mephlip che si calcola elementarmente: devi far vedere che $I_0 = 0!$
Sì ho sbagliato a scrivere, mi scuso ma non avevo capito come calcolare l'integrale in n+1
Prova a calcolare $I_{n + 1}$ per parti.
Ok grazie
Prego.
Visto che ormai dovresti aver capito come si fa, completiamo l'esercizio. Si vede subito che $I_0 = 0! = 1$
Ora, supponendo per ipotesi che sia $I_n = n! $, vogliamo dimostrare che $I_{n + 1} = (n + 1)! $
Infatti integrando per parti si ha:
[tex]\begin{align*} I_{n + 1} & = \int_0^{+\infty} x^{n + 1} e^{- x} \text{d}x =\\
& = \lim_{M \to +\infty} \bigg[ -x^{n + 1} e^{-x} \bigg]_0^M + (n + 1) \int_0^{+\infty} x^n e^{-x} \text{d}x =\\
& = \lim_{M \to +\infty} [- M^{n + 1} e^{-M}] + (n + 1) I_n = (n + 1)I_n = (n + 1)n! =\\
& = (n + 1)!
\end{align*}[/tex]
come volevasi dimostrare. [tex]\Box[/tex]
Visto che ormai dovresti aver capito come si fa, completiamo l'esercizio. Si vede subito che $I_0 = 0! = 1$
Ora, supponendo per ipotesi che sia $I_n = n! $, vogliamo dimostrare che $I_{n + 1} = (n + 1)! $
Infatti integrando per parti si ha:
[tex]\begin{align*} I_{n + 1} & = \int_0^{+\infty} x^{n + 1} e^{- x} \text{d}x =\\
& = \lim_{M \to +\infty} \bigg[ -x^{n + 1} e^{-x} \bigg]_0^M + (n + 1) \int_0^{+\infty} x^n e^{-x} \text{d}x =\\
& = \lim_{M \to +\infty} [- M^{n + 1} e^{-M}] + (n + 1) I_n = (n + 1)I_n = (n + 1)n! =\\
& = (n + 1)!
\end{align*}[/tex]
come volevasi dimostrare. [tex]\Box[/tex]
Non trovavo più la mail di risposta ma alla fine mi è venuto allo steso modo. Grazie mille a tutti!
PS: bella la foto profilo del primo user che mi ha risposto
PS: bella la foto profilo del primo user che mi ha risposto
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