Dimostrare successioni decrescenti
ciao ragazzi vi chiedo questa cosa perche sto analizzando le serie a termini alterni e per il criterio di leibiniz devo verificare che una successione sia decrescente cioe' $a(n)>a(n+1)$
allora la mia successione è $(arctg(k^2-8))/sqrt(k)$
quindi sarà $(arctg(k^2-8))/sqrt(k)> (arctg(k^2-7))/sqrt(k+1)$ moltiplicando i denominatori a destra e a sinistra avremo
$(arctg(k^2-8))sqrt(k+1)> (arctg(k^2-7))sqrt(k)$
poi leggendo su un forum ho letto che per il logaritmo vale la seguente cosa cioè: $lna>lnb $se e solo se $a>b$
quindi supponendo che questa proprietà vale per qualsiasi funzione ho scritto che (ne dubito in quanto le funzioni trigonometriche sono periodiche e quindi non va bene considerare una maggiorazione dei propri argomenti perche mi direbbe solamente quale dei due ha il periodo "piu lungo" ma non di ampiezza maggiore ed e' cio' che interessa a me )
$arctg(k^2-8)>arctg(k^2-7) -> k^2-8>k^2-7$
ma questa cosa non è soddisfatta anche se a occhio si vede che avendo moltiplicato i denominatori la successione e decrescente ma vorrei approfondire piu' algebricamente questa cosa e correggere eventuali errori
(non scrivetemi di fare derivate e studiarne il segno cerco un modo piu' soft ) grazie anticipatamente
allora la mia successione è $(arctg(k^2-8))/sqrt(k)$
quindi sarà $(arctg(k^2-8))/sqrt(k)> (arctg(k^2-7))/sqrt(k+1)$ moltiplicando i denominatori a destra e a sinistra avremo
$(arctg(k^2-8))sqrt(k+1)> (arctg(k^2-7))sqrt(k)$
poi leggendo su un forum ho letto che per il logaritmo vale la seguente cosa cioè: $lna>lnb $se e solo se $a>b$
quindi supponendo che questa proprietà vale per qualsiasi funzione ho scritto che (ne dubito in quanto le funzioni trigonometriche sono periodiche e quindi non va bene considerare una maggiorazione dei propri argomenti perche mi direbbe solamente quale dei due ha il periodo "piu lungo" ma non di ampiezza maggiore ed e' cio' che interessa a me )
$arctg(k^2-8)>arctg(k^2-7) -> k^2-8>k^2-7$
ma questa cosa non è soddisfatta anche se a occhio si vede che avendo moltiplicato i denominatori la successione e decrescente ma vorrei approfondire piu' algebricamente questa cosa e correggere eventuali errori
(non scrivetemi di fare derivate e studiarne il segno cerco un modo piu' soft ) grazie anticipatamente
Risposte
Non mi tornano alcune cose...
Qual è la serie a segni alterni di cui parli? È del tipo $sum_{k=1}^{+\infty} (-)^kfrac{\arctan(k^2-8)}{sqrt{k}}$?
Se $a(k)=frac{\arctan(k^2-8)}{sqrt{k}}$ allora $a(k+1)=frac{\arctan(k^2+2k-7)}{sqrt{k+1}}$.
Infine stai parlando di periodo per l'arcotangente che però non ha periodo (in quanto funzione trigonometrica inversa).
Qual è la serie a segni alterni di cui parli? È del tipo $sum_{k=1}^{+\infty} (-)^kfrac{\arctan(k^2-8)}{sqrt{k}}$?
Se $a(k)=frac{\arctan(k^2-8)}{sqrt{k}}$ allora $a(k+1)=frac{\arctan(k^2+2k-7)}{sqrt{k+1}}$.
Infine stai parlando di periodo per l'arcotangente che però non ha periodo (in quanto funzione trigonometrica inversa).
si la serie è questa $sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^kfrac{\arctan(k^2-8)}{sqrt{k}}$
mi scuso per l errore matematico infatti è cosi $frac{\arctan(k^2+2k-7)}{sqrt{k+1}}>frac{\arctan(k^2-8)}{sqrt{k}}$ e non saprei come dimostrare la sua decrescenza
si è vero arcotg non ha periodo percio vale quella cosa ?? e se invece fosse stato ad esempio il coseno o il seno varrebbe quella proprietà che ho scritto prima per il logaritmo ??
mi scuso per l errore matematico infatti è cosi $frac{\arctan(k^2+2k-7)}{sqrt{k+1}}>frac{\arctan(k^2-8)}{sqrt{k}}$ e non saprei come dimostrare la sua decrescenza
si è vero arcotg non ha periodo percio vale quella cosa ?? e se invece fosse stato ad esempio il coseno o il seno varrebbe quella proprietà che ho scritto prima per il logaritmo ??
Determiniamo il carattere della serie:
\[\sum_{n=1}^ {+\infty}(-1)^n\frac{\arctan( n^2-8)}{\sqrt{n}};\]
si tratta evidentemente di una serie a segni alterni. per determinarne il carattere, considerando il valore assoluto del termine generale, si ha
\begin{align}
\left|(-1)^n\frac{\arctan( n^2-8)}{\sqrt{n}}\right|\stackrel{n\ge3}{=} \frac{\arctan( n^2-8)}{\sqrt{n}}
\end{align}
a questo punto avendo il termine generale di una serie a termini positivi, possiamo applicare il criterio del confronto asintotico quando $n\to+\infty:$
\begin{align}
\frac{\arctan( n^2-8)}{\sqrt{n}} \sim \frac{ \pi/2 }{\sqrt{n}} \to\mbox{diverge;}
\end{align}
risultando assolutamente divergente, non possiamo concludere nulla circa l'eventuale convergenza; si può in questo caso applicare il criterio di Leibniz: evidentemente si ha
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\frac{\arctan( n^2-8)}{\sqrt{n}}=0;
\end{align}
per stabilire se $a_n$ risulta decrescente, bisogna verificare che
\[a_n\ge a_{n+1},\]
in questo caso è probabilmente più opportuno considerare la funzione definita da
\begin{align}
f(x):=\frac{\arctan(x^2-8)}{\sqrt{x}}
\end{align}
e studiarne la derivata prima:
\begin{align}
f'(x)=\frac{\displaystyle\frac{ 2x }{(x^2-8)^2+1}-\frac{\arctan(x^2-8)}{2\sqrt x}}{x}
\end{align}
a questo punto considerandone il comportameno asintotico quando $x\to+\infty$ si ha
\begin{align}
\frac{\displaystyle\frac{2 x }{(x^2-8)^2+1}-\frac{\arctan(x^2-8)}{2\sqrt x}}{x}&\sim \frac{\displaystyle\frac{2x }{x^4}-\frac{\pi}{4x^{1/2}}}{x}= \frac{2 }{x^4}-\frac{\pi}{4x^{3/2}} \\
&\sim-\frac{\pi}{4x^{3/2}} <0,
\end{align}
pertanto quando $x$ diventa molto grande la derivata prima risulta definitivamente negaiva, e questo ci consente di dire che il termine $a_n$ della serie assegnata risulta decrescente, quindi la serie converge semplicemene per il criterio di Leibniz ma non assolutamente.
\[\sum_{n=1}^ {+\infty}(-1)^n\frac{\arctan( n^2-8)}{\sqrt{n}};\]
si tratta evidentemente di una serie a segni alterni. per determinarne il carattere, considerando il valore assoluto del termine generale, si ha
\begin{align}
\left|(-1)^n\frac{\arctan( n^2-8)}{\sqrt{n}}\right|\stackrel{n\ge3}{=} \frac{\arctan( n^2-8)}{\sqrt{n}}
\end{align}
a questo punto avendo il termine generale di una serie a termini positivi, possiamo applicare il criterio del confronto asintotico quando $n\to+\infty:$
\begin{align}
\frac{\arctan( n^2-8)}{\sqrt{n}} \sim \frac{ \pi/2 }{\sqrt{n}} \to\mbox{diverge;}
\end{align}
risultando assolutamente divergente, non possiamo concludere nulla circa l'eventuale convergenza; si può in questo caso applicare il criterio di Leibniz: evidentemente si ha
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\frac{\arctan( n^2-8)}{\sqrt{n}}=0;
\end{align}
per stabilire se $a_n$ risulta decrescente, bisogna verificare che
\[a_n\ge a_{n+1},\]
in questo caso è probabilmente più opportuno considerare la funzione definita da
\begin{align}
f(x):=\frac{\arctan(x^2-8)}{\sqrt{x}}
\end{align}
e studiarne la derivata prima:
\begin{align}
f'(x)=\frac{\displaystyle\frac{ 2x }{(x^2-8)^2+1}-\frac{\arctan(x^2-8)}{2\sqrt x}}{x}
\end{align}
a questo punto considerandone il comportameno asintotico quando $x\to+\infty$ si ha
\begin{align}
\frac{\displaystyle\frac{2 x }{(x^2-8)^2+1}-\frac{\arctan(x^2-8)}{2\sqrt x}}{x}&\sim \frac{\displaystyle\frac{2x }{x^4}-\frac{\pi}{4x^{1/2}}}{x}= \frac{2 }{x^4}-\frac{\pi}{4x^{3/2}} \\
&\sim-\frac{\pi}{4x^{3/2}} <0,
\end{align}
pertanto quando $x$ diventa molto grande la derivata prima risulta definitivamente negaiva, e questo ci consente di dire che il termine $a_n$ della serie assegnata risulta decrescente, quindi la serie converge semplicemene per il criterio di Leibniz ma non assolutamente.
noisemaker tutto ok tutto perfetto ma scusami se te lo dico non mi sei stato tanto di aiuto in quanto avevo specificato di non dimostrare la decrescenza con la derivata e lo studio del segno. cerco un modo piu soft per calcolarlo ovvero con disuguaglianze a stratagemmi algebrici
scusami ... ma non ho letto tutto il tuo primo post, mi sono fermato prima, quando ho letto ciò che hai scritto .... , per quello ho voluto farti vedere come affrontare lo studio di una serie . Fai finta che non abbia scritto nulla!
tranquillo non voglio usare la derivata perche altrimenti ci metto troppo e poi per funzioni complicate se non sto attento e facile che sbaglio
La risoluzione di Noisemaker è, per quanto articolata, elegante e completa di nozioni.
Propongo una via risolutiva con disuguaglianze a stratagemmi algebrici come chiedi, che però non è né elegante né più di tanto soft (almeno quella che mi è venuta in mente).
Per provare la validità di $frac{\arctan(k^2+2k-7)}{sqrt{k+1}}da un certo punto in poi) sui reali positivi mostri che, poste $f(k)=sqrt{k}\arctan(k^2+2k-7)$ e $g(k)=sqrt{k+1}\arctan(k^2-8)$, la funzione $h(k)=f(k)-g(k)$ ha una sola radice, chiamamola $\alpha$, in $RR^+$, con $\alpha in [3,4]$ ($h(k)$ continua, $h(3)>0$, $h(4)<0$).
Questo in aggiunta al fatto che $f(x_0)\alpha$ prova la validità di $f(k)\alpha$.
Propongo una via risolutiva con disuguaglianze a stratagemmi algebrici come chiedi, che però non è né elegante né più di tanto soft (almeno quella che mi è venuta in mente).
Per provare la validità di $frac{\arctan(k^2+2k-7)}{sqrt{k+1}}
Questo in aggiunta al fatto che $f(x_0)
perche alfa deve appartenere all intervallo chiuso di 3,4 ???
poi noisemaker mi è sorto un dubbio se al posto di (-1)^k ci fosse stato ad esempio (-2)^k sarebbe la stessa cosa ?? il limite della successione oscillerebbe tra +infinito e - infinito ???
Ho applicato all'intervallo $[3,4]$ il Teorema degli zeri per le funzioni continue.
Se fosse $(-2)^k$ anziché $(-1)^k$ le cose cambierebbero parecchio.
Per proprietà delle potenze puoi scrivere $(-2)^k=(-1)^k*2^k$ e valutare la nuova serie (puoi verificare la sua divergenza mostrando che la successione non decresce e non è infinitesima).
Se fosse $(-2)^k$ anziché $(-1)^k$ le cose cambierebbero parecchio.
Per proprietà delle potenze puoi scrivere $(-2)^k=(-1)^k*2^k$ e valutare la nuova serie (puoi verificare la sua divergenza mostrando che la successione non decresce e non è infinitesima).
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