Dimostrare soluzione di un problema di Cauchy

Reyzet
Ciao a tutti, sto avendo problemi nel capire come applicare il teorema di esistenza in grande e piccolo per Edo. Ho questo pdc
$y'=-y^2+y+tanh(xy)$, $y(0)=1/2$ e dovrei fare vedere che ammette soluzione unica in $[0,\+infty[$.
Non sto capendo neanche come trovare la lipschitzianita di f rispetto a y, ho provato a derivare e a maggiorare la derivata parziale ma non arrivo a nulla (so che deve essere una maggiorazione locale ma non capisco come renderla uniforme rispetto a x)
Qualche aiuto?

EDIT ma in realtà la lipschitzianita locale si ha in automatica se f è $C^1$ no?
Se così fosse andrebbe solo provato che la soluzione è in tutto R+

Risposte
gugo82
Il secondo membro è di classe $C^oo$, dunque è localmente lipschitziano rispetto ad $y$ in ogni rettangolo compatto. Ne viene che il teorema di esistenza ed unicità locale si applica e ti fornisce un’unica soluzione locale del P.d.C.

Per come’è fatto il secondo membro, dubito fortemente che la soluzione massimale del P.d.C. sia definita “in grande”, ossia in tutto $]0,+oo[$. Infatti, hai una nonlinearità quadratica che ti frega la sublinearità in $y$ del secondo membro.

*** EDIT: Mmmm… Forse no. Prova a vedere se puoi fare qualcosa maggiorando il secondo membro con $y + 1$.

Reyzet
Il problema è che devo maggiore il modulo di f. Le possibilità che mi erano venute in mente sono maggiorare la tangente iperbolica con 1 o col suo argomento in valore assoluto.
$|f|<=|y-y^2|+|tanh(xy)|<=|y|+|y^2|+|x||y|=|y|(1+|y|+|x|)$ ma questa cosa non serve per il teorema...
Oppure $|f|<=|y-y^2|+1<=|y||y+1|+1$, che non fa concludere.
Il problema è appunto quel quadrato, a questo punto può essere che non si debba applicare il teorema ma seguire qualche altra strada (anche se non credo)

Reyzet
up! Qualcuno ha qualche idea?

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