Dimostrare se affermazione è vera o falsa (analisi 1)
Ciao, sono alle prese con esercizi d'esame di analisi 1 del tipo vero o falso da dimostrare. Per dimostrare che è falsa basta trovare un esempio che lo dimostri, invece per dire che è vera bisogna dimostrarlo.
Sia f(x) funzione derivabile in R tale che f'(x) risulta limitata in R con estremo superiore sup f'(x)=M.
1- f(x) è limitata in R
2- |f(x)-f(y)|<= M*|x-y|
3- limite per x che tende a più infinito di f(x)/x^2=0
Per il primo io ho pensato alla funzione f(x)=x che è derivabile in R e la sua derivata è la funzione costante quindi limitata. Quindi la 1 è falsa perchè f(x)=x non è limitata in R.
Per il secondo ho pensato che (f(x)-f(y))/(x-y)<= M quindi f'(x)<= M. Quindi è vera perchè M è l'estremo superiore di f'(x).
Per il terzo non so proprio come partire...
Secondo voi sono giusti i ragionamenti che ho fatto sui primi 2? E il terzo come lo fareste?
Grazie in anticipo per il vostro aiuto.
Sia f(x) funzione derivabile in R tale che f'(x) risulta limitata in R con estremo superiore sup f'(x)=M.
1- f(x) è limitata in R
2- |f(x)-f(y)|<= M*|x-y|
3- limite per x che tende a più infinito di f(x)/x^2=0
Per il primo io ho pensato alla funzione f(x)=x che è derivabile in R e la sua derivata è la funzione costante quindi limitata. Quindi la 1 è falsa perchè f(x)=x non è limitata in R.
Per il secondo ho pensato che (f(x)-f(y))/(x-y)<= M quindi f'(x)<= M. Quindi è vera perchè M è l'estremo superiore di f'(x).
Per il terzo non so proprio come partire...
Secondo voi sono giusti i ragionamenti che ho fatto sui primi 2? E il terzo come lo fareste?
Grazie in anticipo per il vostro aiuto.
Risposte
Secondo me i ragionamenti fatti sono corretti. Per il terzo calcolerei il $lim_(x->+oo) f(x)/x^2$ con l'Hospital
Ok grazie!
La (2) direi che è falsa. Controesempio: l'inversa della cotangente.
Ciao
B.
Ciao
B.
Immagino che l'ipotesi sia
\[
\sup_{x\in\mathbf{R}} |f'(x)| = M,
\]
(con il valore assoluto).
Anche se questa è l'ipotesi corretta, il ragionamento per il secondo punto non lo è.
Infatti tu hai dimostrato che, se \(f\) è derivabile e vale (2), allora \(|f'| \leq M\), ma dovevi dimostrare il viceversa. La dimostrazione corretta passa per il teorema di Lagrange.
Per il terzo punto puoi usare, come già suggerito, la regola di l'Hopital o anche sfruttare (2), che ti fornisce
\[
f(0) - M x \leq f(x) \leq f(0) + M x \qquad \forall x > 0.
\]
\[
\sup_{x\in\mathbf{R}} |f'(x)| = M,
\]
(con il valore assoluto).
Anche se questa è l'ipotesi corretta, il ragionamento per il secondo punto non lo è.
Infatti tu hai dimostrato che, se \(f\) è derivabile e vale (2), allora \(|f'| \leq M\), ma dovevi dimostrare il viceversa. La dimostrazione corretta passa per il teorema di Lagrange.
Per il terzo punto puoi usare, come già suggerito, la regola di l'Hopital o anche sfruttare (2), che ti fornisce
\[
f(0) - M x \leq f(x) \leq f(0) + M x \qquad \forall x > 0.
\]
"Rigel":
Immagino che l'ipotesi sia
"L'immaginazione al potere" (bei tempi!) Condivido tutto il resto, ma preferivo la correzione dall'interessato.
Ciao
B.
No, nell'ipotesi non c'è il modulo.
Comunque grazie. Ciao
Comunque grazie. Ciao
"orsoulx":
[quote="Rigel"]Immagino che l'ipotesi sia
"L'immaginazione al potere" (bei tempi!) [/quote]
Direi che si tratta comunque di un errore di stumpa, altrimenti non si capisce come mai si richieda che \(f'\) sia limitata ma si indichi con \(M\) l'estremo superiore di \(f'\) e non di \(|f'|\). Ma magari è un esercizio particolarmente malizioso...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo