Dimostrare: Ogni insieme di interi non vuot e sup.lim ha max
Ciao a tutti, sto cercando di dimostrare che:
ogni insieme di interi, non vuoto e superiormente limitato ha massimo.
Io ho pensato alla definizione data sul libro di massimo di un insieme A:
$max A :=$ "l'elemento $c \in A$ tale che $c >= x$ per ogni $x \in A$".
Io so che un insieme superiormente limitato ha un maggiorante che a sua volta è un $c\in A$ tale che $c$ sia maggiore o uguale ad ogni elemento in $A$.
Quindi mi è sembrato un buon tentativo ragionare come segue:
Sia $A$ un insieme non vuoto di interi superiormente limitato. Suppongo per assurdo che non abbia massimo.
Quindi saro' i ngrado di costruirmi un insieme $S:={x\inZZ : x != maxA}$, non so se lo ho scritto correttamente, vorrei costruire un insieme $S$ di numeri che non sono maggioranti di $A$.
Quindi, sicuramente $0 \in A$ altrimenti avremmo, $maxA = 0$.
Poiche' ho supposto che $A$ non ha massimo, lo stesso discorso vale anche per $1$ e per ogni $x\in ZZ$.
Mi accorgo quindi che $S = ZZ$ e quindi il mio $A = \emptyset$ ... ma il mio $A$ non puo' essere vuoto per ipotesi.
bah... non mi e' molto chiaro se puo' andare...
GRazie a tutti.
ogni insieme di interi, non vuoto e superiormente limitato ha massimo.
Io ho pensato alla definizione data sul libro di massimo di un insieme A:
$max A :=$ "l'elemento $c \in A$ tale che $c >= x$ per ogni $x \in A$".
Io so che un insieme superiormente limitato ha un maggiorante che a sua volta è un $c\in A$ tale che $c$ sia maggiore o uguale ad ogni elemento in $A$.
Quindi mi è sembrato un buon tentativo ragionare come segue:
Sia $A$ un insieme non vuoto di interi superiormente limitato. Suppongo per assurdo che non abbia massimo.
Quindi saro' i ngrado di costruirmi un insieme $S:={x\inZZ : x != maxA}$, non so se lo ho scritto correttamente, vorrei costruire un insieme $S$ di numeri che non sono maggioranti di $A$.
Quindi, sicuramente $0 \in A$ altrimenti avremmo, $maxA = 0$.
Poiche' ho supposto che $A$ non ha massimo, lo stesso discorso vale anche per $1$ e per ogni $x\in ZZ$.
Mi accorgo quindi che $S = ZZ$ e quindi il mio $A = \emptyset$ ... ma il mio $A$ non puo' essere vuoto per ipotesi.
bah... non mi e' molto chiaro se puo' andare...
GRazie a tutti.
Risposte
"BoG":E già hai sbagliato. Mica per forza il maggiorante appartiene ad \(A\): pensa ad un intervallo aperto a destra come \([0, 1)\). L'insieme dei maggioranti è \([1, +\infty)\) e nessuno dei suoi punti appartiene ad \(A\).
Io so che un insieme superiormente limitato ha un maggiorante che a sua volta è un $c\in A$ tale che $c$ sia maggiore o uguale ad ogni elemento in $A$.
Quindi saro' i ngrado di costruirmi un insieme $S:={x\inZZ : x != maxA}$, non so se lo ho scritto correttamente, vorrei costruire un insieme $S$ di numeri che non sono maggioranti di $A$.Non lo hai scritto correttamente, ho paura che tu non abbia proprio chiaro il concetto di "maggiorante" e di "massimo".
Quindi, sicuramente $0 \in A$ altrimenti avremmo, $maxA = 0$.Ma no!!! Per esempio un insieme \(A\) che rispetta le specifiche della traccia è \(\{1, 2\}\). Dove sta lo zero?
Poiche' ho supposto che $A$ non ha massimo, lo stesso discorso vale anche per $1$ e per ogni $x\in ZZ$.
Mi accorgo quindi che $S = ZZ$ e quindi il mio $A = \emptyset$ ... ma il mio $A$ non puo' essere vuoto per ipotesi.
Purtroppo non va bene, cancella tutto e rifai daccapo. Aiutati con un disegno: il tuo insieme \(A\), sulla retta, appare come una famiglia discreta di punti limitata da destra. Ricorda anche che ogni insieme finito ha massimo.
Grazie della risposta.
Quindi un insieme $A$ non vuoto, sup. lim. puo' avere infiniti maggioranti, mentre il massimo è un elemento che fa parte dell'insieme $A$ e quindi.. beh si, si va a benedire il postulato dell'ignoranza che ho scritto sopra...
Quindi un insieme $A$ non vuoto, sup. lim. puo' avere infiniti maggioranti, mentre il massimo è un elemento che fa parte dell'insieme $A$ e quindi.. beh si, si va a benedire il postulato dell'ignoranza che ho scritto sopra...
Ok, proviamo così:
prendo un insieme $A \subset ZZ$, non vuoto e sup-limitato.
Allora esistera' un $b \in RR$ che sara' maggiorante di $A$.
Creo allora un insieme $S := {b-a: a\inA}$ e dato che $A != \emptyset$ allora anche $S != \emptyset$ ed essendo un insieme non vuoto posso usare il principio del buon ordinamento e dire che $S$ ammette un minimo $\bar{s}$.
Questo $\bar{s}$ è dato da un maggiorante $b$ al quale è stato sotratto il piu' grande dei numeri presente in $A$ che chiamo $\bar{a}$, quindi posso scrivere $\bar{s} = b-\bar{a}$.
Posso scrivere questa relazione
$\bar{s} = b-\bar{a} <= b-a, AAa\inA$
$-\bar{a} <=-a$
$\bar{a} >=a$ $AAa\inA$... quindi $\bar{a}$è max di A
prendo un insieme $A \subset ZZ$, non vuoto e sup-limitato.
Allora esistera' un $b \in RR$ che sara' maggiorante di $A$.
Creo allora un insieme $S := {b-a: a\inA}$ e dato che $A != \emptyset$ allora anche $S != \emptyset$ ed essendo un insieme non vuoto posso usare il principio del buon ordinamento e dire che $S$ ammette un minimo $\bar{s}$.
Questo $\bar{s}$ è dato da un maggiorante $b$ al quale è stato sotratto il piu' grande dei numeri presente in $A$ che chiamo $\bar{a}$, quindi posso scrivere $\bar{s} = b-\bar{a}$.
Posso scrivere questa relazione
$\bar{s} = b-\bar{a} <= b-a, AAa\inA$
$-\bar{a} <=-a$
$\bar{a} >=a$ $AAa\inA$... quindi $\bar{a}$è max di A
"BoG":
b al quale è stato sotratto il piu' grande dei numeri presente in A che chiamo a
Stai affermando che è vero a priori quello che vuoi dimostrare
Nel momento in cui parli de "il più grande dei numeri di $A$" stai dando per scontata l'esistenza di $\text{max}A$, che invece è quello che stai cercando di dimostrare.
e se dicessi che esiste un $\bar{a}\inA$ tale che $\bar{s} = b-\bar{a}$ al posto della frase quotata?
Dovrebbe andare, suppongo. Dico "suppongo" perchè non conosco il principio del buon ordinamento, e quindi non so se questo giustifichi o meno l'esistenza di quel siffatto $\overline{s}$ (che esiste lo so, è banalmente intuitivo...se è per questo so anche che ogni insieme finito ammette massimo 
, senza dimostrarlo).
Ricapitolando: ammesso che quel tale $\overline{s}$ esista (ossia ammesso che $\exists\min S$) per il principio del buon ordinamento, la dimostrazione mi pare corretta, ma aspetta Dissonance per esserne certo/a
, senza dimostrarlo).Ricapitolando: ammesso che quel tale $\overline{s}$ esista (ossia ammesso che $\exists\min S$) per il principio del buon ordinamento, la dimostrazione mi pare corretta, ma aspetta Dissonance per esserne certo/a
Con l'ultimo ritocco proposto va bene.
Ho dato un'occhiata veloce, ma secondo me c'è un problema. Il principio del buonordinamento si applica in $NN$, non in $ZZ$.
Vabbè dai, puoi anche sorvolare: BoG ha un insieme \(S\) discreto e limitato dal basso, quindi è chiaro che il buon ordinamento funziona ancora. Sì, bisognerebbe dimostrarlo, però ci possiamo fidare.
Non credo comunque che l'estensore dell'esercizio prevedesse questo svolgimento. Più probabilmente pensava di fare applicare le proprietà del sup.
Non credo comunque che l'estensore dell'esercizio prevedesse questo svolgimento. Più probabilmente pensava di fare applicare le proprietà del sup.
Io invece ho dato un'occhiata veloce al principio del buon ordinamento Quell'insieme $S$ contiene numeri non interi, quindi mi pare che non c'entri nulla col suddetto principio 
Non so quanto possa essere utile, ma forse puoi tirare in ballo l'assioma di Dedekind per dire che, dal momento che $S\subset RR$, allora $\exists \text{inf} S$, e dovresti dimostrare che questo coincide con $\min S$, ma forse è un po' troppo contorto (e magari inutile/sbagliato).
@Dissonance. Prima ho provato in un altro modo, usando la proprietà del $\text{sup}$ come dici tu, cercando di dimostrare che $\text{sup} A = \max A$, ma non ne sono venuto fuori
Quell'insieme $S$ contiene numeri non interi, quindi mi pare che non c'entri nulla col suddetto principio Non so quanto possa essere utile, ma forse puoi tirare in ballo l'assioma di Dedekind per dire che, dal momento che $S\subset RR$, allora $\exists \text{inf} S$, e dovresti dimostrare che questo coincide con $\min S$, ma forse è un po' troppo contorto (e magari inutile/sbagliato).
@Dissonance. Prima ho provato in un altro modo, usando la proprietà del $\text{sup}$ come dici tu, cercando di dimostrare che $\text{sup} A = \max A$, ma non ne sono venuto fuori
Io farei così..
L'idea è quella che gli interi sono un insieme i cui elementi sono ben equispaziati, quindi non può avvenire che in ogni intorno sinistro del superiore vi siano interi dell'insieme distinti dal superiore stesso.
L'idea è quella che gli interi sono un insieme i cui elementi sono ben equispaziati, quindi non può avvenire che in ogni intorno sinistro del superiore vi siano interi dell'insieme distinti dal superiore stesso.
"Seneca":
Ho dato un'occhiata veloce, ma secondo me c'è un problema. Il principio del buonordinamento si applica in $NN$, non in $ZZ$.
Hmmm... devo diere che pure io mi sono posto il problema del fatto che il principio del buon ordinamento fa riferimento a numeri in $NN$ ed io avevo i $ZZ$ mi sono chiesto, essendo $ZZ = NN \cup -NN$, io ho comunque un insieme che pur essendo limitato superiormente, è potenzialmente infinito verso $-\infty$ quindi creando $S := {b-a: a\inA}$ potrei non avere un minimo... quinbdi l'uso del buon ordinamento va a farsi benedire, o sbaglio?
"Plepp":
Io invece ho dato un'occhiata veloce al principio del buon ordinamento
Potrei risolvere il problema dicendo non piu' che $b\inRR$ ma dicendo $b\inNN$? questo mi farebbe avere numeri naturali nell'insieme $S$! giusto?
"BoG":
... quinbdi l'uso del buon ordinamento va a farsi benedire, o sbaglio?
In realtà (ed è quello che diceva Dissonance) puoi formalizzare le cose in modo da poter applicare il buonordinamento di $NN$.
$S$ è un insieme inferiormente limitato perché $A$ è superiormente limitato.
Evabè non è che decidi tu che quei $b$ sono naturali e loro lo diventano "per magia" Se non sono interi, non sono interi e basta Comunque ti consiglio di leggere la dimostrazione di Seneca...l'avevo impostata anch'io in quel modo, più o meno, ma mi mancava una cosina per concludere 
Se non sono interi, non sono interi e basta Comunque ti consiglio di leggere la dimostrazione di Seneca...l'avevo impostata anch'io in quel modo, più o meno, ma mi mancava una cosina per concludere
"Plepp":
Evabè non è che decidi tu che quei $b$ sono naturali e loro lo diventano "per magia"
Perchè no ? (non lo dico con arroganza
) ... un insieme sup-limitato avra' dei maggioranti in $RR$ ma qualcuno di loro sara' anche un interno $NN$, no? io potrei limitarmi a considerare solo i maggioranti interi?La relazione è $NN\subsetZZ\subsetQQ\subsetRR\subsetCC$...
il mio ragionamento e' una caxxata?
"BoG":
Creo allora un insieme $S := {b-a: a\inA}$ e dato che $A != \emptyset$ allora anche $S != \emptyset$ ed essendo un insieme non vuoto posso usare il principio del buon ordinamento e dire che $S$ ammette un minimo $\bar{s}$.
Il discorso è questo. A me sembra che nulla ti permetta di concludere che $S$ ha un minimo, poichè contiene numeri non interi. Al massimo, puoi dire (ripeto) che essendo inferiormente limitato (e contenuto in $RR$...) allora $\exists \text{inf} S$ (ed è uguale a $ \text{inf} \mathcal{M}(A)- \text{sup} A$, dove $\mathcal{M}(A)$ è l'insieme dei maggioranti di $A$) per l'assioma di continuità.
MI sa che ha ragione BoG, ragazzi, però non ho visto con grande attenzione. Il fatto che \(S\) contenga numeri non interi è una falsa limitazione, perché comunque è contenuto in un traslato di \(\mathbb{N}\) e quindi vale lo stesso la proprietà di buon ordinamento. E infine, prendendo un maggiorante intero non c'è neanche bisogno di fare questo distinguo perché in quel caso \(S\) è un insieme di numeri interi.
Ok, dissonance, ma quello che dici è vero, mi pare, se si fissa un qualsiasi maggiorante $b$ e si costruisce $S$ come ha fatto BoG.
Per come è impostata la dimostrazione, però, costruito in tal modo, $S$ non ci serve a nulla...bisognerebbe definirlo così, penso:
\[S=\{b-a\ : \ a\in A, b \in \mathcal{M}(A) \}\]
A noi serve il minimo di questo $S$; una volta appurato che questo esiste, la dimostrazione si conclude da sola.
Per come è impostata la dimostrazione, però, costruito in tal modo, $S$ non ci serve a nulla...bisognerebbe definirlo così, penso:
\[S=\{b-a\ : \ a\in A, b \in \mathcal{M}(A) \}\]
A noi serve il minimo di questo $S$; una volta appurato che questo esiste, la dimostrazione si conclude da sola.
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