Dimostrare mediante principio di induzione
Vorrei dimostrare il binomio di Newton mediante principio di induzione, cioè la formula:
[tex](a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k=\binom{n}{0}a^{n}+\binom{n}{1}a^{n-1}b+.....+\binom{n}{n}b[/tex]
Per n=1 verifico facilmente che sia verificata, ma come faccio a dimostrarla per [tex]n+1[/tex]? Facendo le sostituzioni non arrivo ad una conclusione...mi aiutereste?
[tex](a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k=\binom{n}{0}a^{n}+\binom{n}{1}a^{n-1}b+.....+\binom{n}{n}b[/tex]
Per n=1 verifico facilmente che sia verificata, ma come faccio a dimostrarla per [tex]n+1[/tex]? Facendo le sostituzioni non arrivo ad una conclusione...mi aiutereste?
Risposte
Devi dimostrarla per $n = n + 1$ supponendola vera per $n = n$.
Provato a scrivere:
[tex]$(a+b)^{n+1}=(a+b)^n (a+b)$[/tex]
ed ad usare l'ipotesi induttiva?
La dimostrazione riesce sicuramente con un po' di manipolazioni algebriche... Prova un po'.
[tex]$(a+b)^{n+1}=(a+b)^n (a+b)$[/tex]
ed ad usare l'ipotesi induttiva?
La dimostrazione riesce sicuramente con un po' di manipolazioni algebriche... Prova un po'.
Ma per ipotesi induttiva devo supporla vera quindi per [tex]n=n[/tex]?
$n=n$ è una identità, e poco ti dice. Il principio di induzione afferma che una proprietà $P(n)$ è vera per ogni $n \in \NN$ se e solo se $P(0)$ è vera e $P(n) => P(n+1)$ per ogni $n\in\NN$. In poche parole dalla verità assunta per ipotesi (induttiva) di $P(n)$ devi dedurre la verità di $P(n+1)$.
Oppure più semplicemente la provo per n=1, supposta vera per n la provo per n+1 e applico quella piccola proprietà algebrica di cui parlava Gugo.... 
Non è "più semplicemente", è esattamente così che funziona l'induzione.
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