Dimostrare L'estremo superiore

[davide9715]

Come faccio a dimostrare l'esistenza dell'estremo superiore di tale esercizio:

$$\frac{(n+1)^2}{2^n m} $$ $$ n,m\in \mathbb{N}$$

[kobeilprofeta]

Intanto fai vedere che esistono maggioranti

[kobeilprofeta]

un'idea:

controllo se:
1) f e' positiva
2) ha derivate parziali che sono definitivamente negative

[gugo82]

"kobeilprofeta":un'idea:

controllo se:
1) f e' positiva
2) ha derivate parziali che sono definitivamente negative

Che c'entra?

[IlPolloDiGödel]

Domanda: dato che la funzione va a $+infty$ per $m->0^+$ indipendentemente da n, possiamo già concludere che non esista sup finito?

[kobeilprofeta]

"gugo82":[quote="kobeilprofeta"]un'idea:

controllo se:
1) f e' positiva
2) ha derivate parziali che sono definitivamente negative

Che c'entra?[/quote]

non sarebbe sufficiente per dimostrare l'esistenza di maggioranti?

[gugo82]

"IlPolloDiGödel":Domanda: dato che la funzione va a $+infty$ per $m->0^+$ indipendentemente da n, possiamo già concludere che non esista sup finito?

Risposta: dato che $m\in \NN$ e che $0$ non è di accumulazione per $\NN$, $m$ non può tendere a $0$.

"kobeilprofeta":[quote="gugo82"][quote="kobeilprofeta"]un'idea:

controllo se:
1) f e' positiva
2) ha derivate parziali che sono definitivamente negative

Che c'entra?[/quote]

non sarebbe sufficiente per dimostrare l'esistenza di maggioranti?[/quote]
Vabbé, ma è troppo.

Infatti, detti $a(n,m)$ i numeri dell'insieme, si vede facilmente che:
\[
a(n,m)>a(n,m+1)
\]
per ogni $n,m\in \NN$. Inoltre, dato che:
\[
a(n,1) = \frac{(n+1)^2}{2^n}> \frac{(n+2)^2}{2^{n+1}}= a(n+1,1)
\]
per $n\geq 2$ (infatti, si ha $2(n+1)^2 > (n+2)^2$ per $n\geq 2$) si ha:
\[
a(n,m)\leq a(n,1)\leq a(2,1)=\frac{9}{4}
\]
per ogni $m\in \NN$ ed $n\geq 2$; poi per $n=1$ si ha:
\[
a(1,m)\leq a(1,1) = 2\; ;
\]
quindi:
\[
a(n,m)\leq \max \left\{ 2,\frac{9}{4}\right\} = \frac{9}{4}
\]
per ogni $n,m\in \NN$.

[kobeilprofeta]

okok, perfetto

se invece usassi le derivate, potrei dire che: "visto che vale per ogni numero reale, in particolare vale per i naturali" o dovrei formalizzare meglio il passaggio al calcolo differenziale?