Dimostrare la seguente disuguaglianza
Sia f(x) una funzione derivabile in (0,1) e continua sino agli estremi. Si assuma che |f'(x)| ≤ M per ogni x appartenente (a,b). Si provi la disuguaglianza:
\(\displaystyle
\left| \int_0^1 f(x) dx - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(k/n) \right| \leq \frac{M}{n}.
\)
Mie idee:
Innanzitutto, poichè f'(x) è ilimitata, implica che f(x) è lipschitziana, e dunque presi x e y in [0,1] abbiamo che:
|f(x) - f(y)|/(|x - y|) ≤ M.
Inoltre poichè b - a = 1 - 0 = 1, per il teorema della media integrale posso dire che :
1
∫ f(x) dx = f(c), con c contenuto in (0,1)
0
Ora passiamo alla mia dimostrazione che è più intuitiva che matematica.
per n->+oo , 1/n∑f(k/n), che è la media aritmetica del valore assunto da f(x) in n intervalli di ampiezza 1/n, converge nell'integrale tra 0 e 1 di f(c), quindi la disuguaglianza diventa infinitesima.
Ma la disuguaglianza è da dimostrare per ogni n, per cui si può dire che la differenza tra l'integrale e la sommatoria si assottiglia all'aumentare degli n, divenendo appunto M/n
Ora, tutto questo è giusto?, come dimostro ciò "matematicamente"?
\(\displaystyle
\left| \int_0^1 f(x) dx - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(k/n) \right| \leq \frac{M}{n}.
\)
Mie idee:
Innanzitutto, poichè f'(x) è ilimitata, implica che f(x) è lipschitziana, e dunque presi x e y in [0,1] abbiamo che:
|f(x) - f(y)|/(|x - y|) ≤ M.
Inoltre poichè b - a = 1 - 0 = 1, per il teorema della media integrale posso dire che :
1
∫ f(x) dx = f(c), con c contenuto in (0,1)
0
Ora passiamo alla mia dimostrazione che è più intuitiva che matematica.
per n->+oo , 1/n∑f(k/n), che è la media aritmetica del valore assunto da f(x) in n intervalli di ampiezza 1/n, converge nell'integrale tra 0 e 1 di f(c), quindi la disuguaglianza diventa infinitesima.
Ma la disuguaglianza è da dimostrare per ogni n, per cui si può dire che la differenza tra l'integrale e la sommatoria si assottiglia all'aumentare degli n, divenendo appunto M/n
Ora, tutto questo è giusto?, come dimostro ciò "matematicamente"?
Risposte
La dimostrazione non è una dimostrazione, perché stai provando altro.
Cosa sai dell’integrale?
Quali proprietà conosci?
Cosa sai dell’integrale?
Quali proprietà conosci?
Infatti l'ho scritto che è un'idea solo intuitiva e non una dimostrazione matematica.
Semplicemente non so come procedere per scrivere una dimostrazione rigorosa.
Più o meno tutte le proprietà che mi sembravano utili, e che conosco, dell'integrale le ho scritte.
Semplicemente non so come procedere per scrivere una dimostrazione rigorosa.
Più o meno tutte le proprietà che mi sembravano utili, e che conosco, dell'integrale le ho scritte.
Ah, quindi cose tipo la proprietà additiva o quanto fa l’integrale di una costante ti sono ignote?
Non credo.
Ad ogni buon conto, vedi che riesci a fare con le seguenti uguaglianze:
$int_0^1 f(x) text(d) x = sum_(k=1)^n int_((k-1)/n)^(k/n) f(x) text(d) x$
$1/n sum_(k=1)^n f(k/n) = sum_(k=1)^n int_((k-1)/n)^(k/n) f(k/n) text(d) x$
dopo che hai capito cosa significano e come vengono fuori dalle proprietà dell’integrale.
Non credo.
Ad ogni buon conto, vedi che riesci a fare con le seguenti uguaglianze:
$int_0^1 f(x) text(d) x = sum_(k=1)^n int_((k-1)/n)^(k/n) f(x) text(d) x$
$1/n sum_(k=1)^n f(k/n) = sum_(k=1)^n int_((k-1)/n)^(k/n) f(k/n) text(d) x$
dopo che hai capito cosa significano e come vengono fuori dalle proprietà dell’integrale.
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