Dimostrare la seguente diseguaglianza [RISOLTO]

[giuscri]

Esercizio scemo: dimostrare la seguente diseguaglianza

$arctanx > x/(1+x^2)$ , $\forall x \in (0,\+infty)$

Considerazioni ad occhio: la funzione a destra è sempre positiva in $RR^+ - {0}$. Nell'origine è nulla, al crescere di $x$ tende a zero dall'alto -i.e. avrà qualche massimo prima o poi. La diseguaglianza è sicuramente verificata per "intorni" di $+\infty$. Se verifico che la pendenza della prima è sempre più piccola della seconda vinco.

Calcolo:

$D[arctanx] > D[x/(1+x^2)]$

$\rArr 1/(1+x^2) > (1-x^2) / (1+x^2)^2 $

$\rArr 1/(1+x^2) > (1+x^2 - 2x^2) / (1+x^2)^2 = (1-x^2)/(1+x^2)^2$

$\rArr 1 > (1-x^2) / (1+x^2) \rArr 1+x^2 > 1-x^2$

, sempre verificata per ogni valore reale.

Ora -sempre che sia giusto- c'è un modo di fare l'esercizio in maniera più elegante?

Grazie per la pazienza

[Gi81]

Direi che quello che hai scritto va bene.

In alternativa, consiglio di fare così:
Sia $f(x)= arctan(x) -x/(1+x^2)$. Ovviamente $f$ è continua e derivabile in ogni $x in RR$.
Si ha $f'(x) = ... >0$ (lascio a te i conti), quindi $f$ è crescente.
Dato che $f(0)=0$, si ha $f(x)>0$ per ogni $x>0$.

[giuscri]

"Gi8":Direi che quello che hai scritto va bene.

In alternativa, consiglio di fare così:
Sia $f(x)= arctan(x) -x/(1+x^2)$. Ovviamente $f$ è continua e derivabile in ogni $x in RR$.
Si ha $f'(x) = ... >0$ (lascio a te i conti), quindi $f$ è crescente.
Dato che $f(0)=0$, si ha $f(x)>0$ per ogni $x>0$.

Già! Ti ringrazio.