Dimostrare la non esistenza di un limite
ciao!
volevo chiedere se qualcuno poteva scrivere la dimostrazione della non esistenza del limite lim(x --> +∞) sin x
perchè non mi è possibile sfruttare il fatto che il limite destro sia diverso dal sinistro, dato che questo è un limite destro.
grazie mille
volevo chiedere se qualcuno poteva scrivere la dimostrazione della non esistenza del limite lim(x --> +∞) sin x
perchè non mi è possibile sfruttare il fatto che il limite destro sia diverso dal sinistro, dato che questo è un limite destro.
grazie mille
Risposte
Quel limite non esiste semplicemente perchè la funzione $f(x) = sinx$ è una funziona periodica.
?limite destro?
devi dimostrare che per $x -> + \infty$ esistono due "sottoinsiemi" nei quali in uno il limite vale $1$ e nell'altro $-1$, la dimostrazione però non la ricordo...
edit: due restrizioni
devi dimostrare che per $x -> + \infty$ esistono due "sottoinsiemi" nei quali in uno il limite vale $1$ e nell'altro $-1$, la dimostrazione però non la ricordo...
edit: due restrizioni
"Hawk88":Si, però secondo me è meglio dimostrarlo direttamente. Anche $f(x)=0$ è una funzione periodica però ammette tutti i limiti che vuoi. Tu mi dirai "e vabbé, ma è un controesempio troppo scemo" e io sarei pure d'accordo; ma a questo punto visto che è facile meglio dimostrarlo.
Quel limite non esiste semplicemente perchè la funzione $f(x) = sinx$ è una funziona periodica.
Invece di pensare a limiti destri e sinistri, che non c'entrano nulla in questo caso, usiamo le successioni. Se esistesse
$lim_{x\to+\infty}sin(x)=l$
dovrebbe essere, per ogni successione $a_n\to\+infty$,
$lim_{n\to\infty}sin(a_n)=l$.
Ma prendiamo le due successioni $a_n=2\pi n$ e $b_n=pi/2+2\pi n$: risulta che
$lim_{n\to\infty}sin(a_n)=0, \lim_{n\to\ infty} sin(b_n)=1$.
Quindi il limite non esiste.
Penso che sia una di quelle dimostrazioni per assurdo, nel senso che:
Se per esempio esistesse il $\lim_{n\to +\infty}\ \sin n$ (stessa cosa di quello che hai scritto) e proviamo a chiamarlo $l$ significherebbe che
$\forall \varepsilon>0\ \exists n_\varepsilon\in \mathbb{N}\ :\ \forall n\ge n_\varepsilon\ \Rightarrow\ |\sin n -l|<\varepsilon$ ovvero che $l-\varepsilon<\sin n0$ che noi scegliamo ad arbitrio, deve accadere che $l-\varepsilon=-1$ e che $l+\varepsilon=1$ il ché significa che a seconda del valore di $\varepsilon$ il nostro $l$ deve "adattarsi di conseguenza. Ma per il Teorema dell'unicità del limite ciò è assurdo.
Non so se sia la dimostrazione ufficiale ma ci sono andato per logica.
Ops: non avevo visto che dissonance aveva risposto. Sorry
Se per esempio esistesse il $\lim_{n\to +\infty}\ \sin n$ (stessa cosa di quello che hai scritto) e proviamo a chiamarlo $l$ significherebbe che
$\forall \varepsilon>0\ \exists n_\varepsilon\in \mathbb{N}\ :\ \forall n\ge n_\varepsilon\ \Rightarrow\ |\sin n -l|<\varepsilon$ ovvero che $l-\varepsilon<\sin n
Non so se sia la dimostrazione ufficiale ma ci sono andato per logica.
Ops: non avevo visto che dissonance aveva risposto. Sorry
Per questa dimostrazione si sfrutta il teorema del limite delle successioni estratte.
IP: $ { a_n } \subset RR, exists lim_{oo} a_n = l in RR \cup { +- oo } $
TS: $ forall { a_{k_n} } \text{ estratta da } a_n \text{ risulta } lim_{oo} a_{k_n} = l$
Da questo teorema deduci che se due estratte di una stessa successione hanno limiti diversi, converrai con me che il limite della successione di partenza non esiste.
Dalla tua successioni originaria $a_n = sin n$ estrai:
$h_n = sin ( 2\pi n )$
$k_n = sin ( 2\pi n + \pi/2 )$
Hai che $lim_{oo} h_n = 0$ in quanto $ sin ( \pi n ) = 0 forall n in NN $, mentre
$lim_{oo} k_n = 1$ in quanto $k_n = 1 forall n in NN$.
Due estratte della successione originaria hanno limiti diversi, ergo il limite di $a_n$ non esiste.
IP: $ { a_n } \subset RR, exists lim_{oo} a_n = l in RR \cup { +- oo } $
TS: $ forall { a_{k_n} } \text{ estratta da } a_n \text{ risulta } lim_{oo} a_{k_n} = l$
Da questo teorema deduci che se due estratte di una stessa successione hanno limiti diversi, converrai con me che il limite della successione di partenza non esiste.
Dalla tua successioni originaria $a_n = sin n$ estrai:
$h_n = sin ( 2\pi n )$
$k_n = sin ( 2\pi n + \pi/2 )$
Hai che $lim_{oo} h_n = 0$ in quanto $ sin ( \pi n ) = 0 forall n in NN $, mentre
$lim_{oo} k_n = 1$ in quanto $k_n = 1 forall n in NN$.
Due estratte della successione originaria hanno limiti diversi, ergo il limite di $a_n$ non esiste.
Azz... neanche io avevo visto la risposta di dissonance :\
grazie a tutti
adesso ho capito
con riferimento al teorema delle successioni estratte suggerito da pater, è necessario usare una successione oppure è possibile usare anche una funzione per dimostrare che il limite non esiste?
adesso ho capito
con riferimento al teorema delle successioni estratte suggerito da pater, è necessario usare una successione oppure è possibile usare anche una funzione per dimostrare che il limite non esiste?
@pater: Intanto si parlava del limite della funzione di variabile continua $f(x)=sin(x)$, non della successione $sin n$. Ma se l'argomento fosse stato la successione, tu saresti in errore, precisamente lo stesso errore commesso da NOKKIAN80 in questo vecchio topic: https://www.matematicamente.it/forum/limite-t12213.html
Nota le risposte di Luca Lussardi e Fioravante Patrone.
P.S.: La parte che ti interessa inizia qui.
Nota le risposte di Luca Lussardi e Fioravante Patrone.
P.S.: La parte che ti interessa inizia qui.
Scusa non hai detto tu stesso ( ed anche Fioravante in quel topic ) che tra limiti di successioni e limiti di funzioni non cambia poi molto?
Non capisco perchè la mia risposta è errata mentre la tua è giusta, quando non vedo differenze così sostanziali.. potresti spiegarmele? E' da tanto che non gioco con le successioni, forse per questo non noto niente.
Non capisco perchè la mia risposta è errata mentre la tua è giusta, quando non vedo differenze così sostanziali.. potresti spiegarmele? E' da tanto che non gioco con le successioni, forse per questo non noto niente.
Se parliamo di $sin n$ intendiamo implicitamente la successione
$(sin1, sin2, sin3, sin4, sin5, ... sin n...)$.
Non vedo da nessuna parte la sottosuccessione
$(sin2pi, sin 4pi, sin 6pi, ... sin n2pi ...)$
e nemmeno
$(sin(pi/2+2pi), sin(pi/2+4pi), ... sin(pi/2+n2pi)...)$
visto che $2npi$, $pi/2+n2pi$ non sono numeri naturali.
$(sin1, sin2, sin3, sin4, sin5, ... sin n...)$.
Non vedo da nessuna parte la sottosuccessione
$(sin2pi, sin 4pi, sin 6pi, ... sin n2pi ...)$
e nemmeno
$(sin(pi/2+2pi), sin(pi/2+4pi), ... sin(pi/2+n2pi)...)$
visto che $2npi$, $pi/2+n2pi$ non sono numeri naturali.
Ah ok, quindi avrei dovuto considerare solo la generale $sin a_n $ senza specificare nulla di +?
???
Ma per fare cosa? Per dimostrare che non esiste
$lim_{x\to\infty}sin(x)$
oppure che non esiste
$lim_{n\to \infty}sin(n)$?
Ma per fare cosa? Per dimostrare che non esiste
$lim_{x\to\infty}sin(x)$
oppure che non esiste
$lim_{n\to \infty}sin(n)$?
Quel teorema non implica che $h_n$ e $k_n$ siano estratte di una stessa successione? Ecco, quale dovrebbe essere questa successione?
Ma di cosa stai parlando? Non capisco. Cosa stai cercando di fare?
Mmm... la mia dimostrazione, che ricordavo ( all'incircamente, per intenderci ) da una lezione di AnI, si basava appunto su un'osservazione del teorema che ho citato prima, secondo la quale appunto il limite di una successione non esiste se prese due sue estratte, si ha che il limite di tali estratte non coincide. ( Sottintendo $+oo$ perchè siamo in $NN$ ).
Ora... Anche tu hai citato il fatto che $lim_{n} sin ( 2\pin ) != lim_{n} sin ( 2\pin + \pi/2 ) $. Ma queste due successioni ( che io avevo chiamato $h_n$ e $k_n$ ) ,per essere usate per confutare l'esistenza del limite di $sin n$, devono essere le estratte di una qualche successione originaria... ecco: da che successione originaria sono estratte? Tu hai detto ragionevolmente che non sono estratte di $a_n = sin n $, ed allora quale dovrebbe essere sta $a_n$ ?
Te lo chiedo perchè le hai citate anche tu queste due...
Ora... Anche tu hai citato il fatto che $lim_{n} sin ( 2\pin ) != lim_{n} sin ( 2\pin + \pi/2 ) $. Ma queste due successioni ( che io avevo chiamato $h_n$ e $k_n$ ) ,per essere usate per confutare l'esistenza del limite di $sin n$, devono essere le estratte di una qualche successione originaria... ecco: da che successione originaria sono estratte? Tu hai detto ragionevolmente che non sono estratte di $a_n = sin n $, ed allora quale dovrebbe essere sta $a_n$ ?
Te lo chiedo perchè le hai citate anche tu queste due...
Ma scusa perché non dici chiaramente che cosa stai dimostrando? Il mio post precedente parla di
$lim_{x\to\infty}sin(x)$ con $x$ variabile reale.
Tu stai parlando (o almeno credo) di
$lim_{n\to\infty}sin(n)$ con $n$ variabile naturale.
Sono due cose diverse, anche se Fioravante le chiamava "gemelle omozigote". Di cosa parli tu?
$lim_{x\to\infty}sin(x)$ con $x$ variabile reale.
Tu stai parlando (o almeno credo) di
$lim_{n\to\infty}sin(n)$ con $n$ variabile naturale.
Sono due cose diverse, anche se Fioravante le chiamava "gemelle omozigote". Di cosa parli tu?
Della seconda, altrimenti non avrei usato $n$ come variabile!
E allora le due successioni $h_n, k_n$ non ti servono a nulla. Non essendo successioni di numeri naturali, le $sin h_n, sin k_n$ non sono estratte da $sin n$. Se vuoi dimostrare che $lim_{n\to\infty}sin n$ non esiste devi sudare molto di più: una traccia di soluzione è quella data da Fioravante nel topic che ho linkato prima.
EDIT: Se poi stai cercando una successione $a_n$ tale che $h_n, k_n$ sono sue estratte, una possibilità è
$(n pi/2)_{n\inNN}$ (mi pare).
EDIT: Se poi stai cercando una successione $a_n$ tale che $h_n, k_n$ sono sue estratte, una possibilità è
$(n pi/2)_{n\inNN}$ (mi pare).
allora non capisco io come tu le hai utilizzate per la tua dimostrazione che hai postato prima o.O
Per quello sto continuando a specificare: $lim_{x\to\infty}sin(x)$ dove $x$ è una variabile reale. In questo caso il limite esiste se e solo se per ogni successione di numeri reali (come la variabile $x$) $(a_n)$ tale che $a_n\to \infty$, esiste il limite
$lim_{n\to \infty}sin(a_n)$
e tutti questi limiti sono uguali. Questo è quello che NOKKIAN80 chiamava "teorema ponte". Non puoi applicarlo al trattamento di $lim_{n\to \infty}sin(n)$, perché non è un limite di funzione di variabile continua.
Tu stavi facendo riferimento ad un teorema diverso. Se esiste il limite di una successione, allora ogni sottosuccessione ammette lo stesso limite. Vedi la differenza?
$lim_{n\to \infty}sin(a_n)$
e tutti questi limiti sono uguali. Questo è quello che NOKKIAN80 chiamava "teorema ponte". Non puoi applicarlo al trattamento di $lim_{n\to \infty}sin(n)$, perché non è un limite di funzione di variabile continua.
Tu stavi facendo riferimento ad un teorema diverso. Se esiste il limite di una successione, allora ogni sottosuccessione ammette lo stesso limite. Vedi la differenza?
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