Dimostrare la non convergenza assoluta
Se sto abusando del forum fatemelo sapere, soprattutto ora che a qualcuno devo aver dato fastidio...
$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{\arctan(n)}{n}$
La convergenza semplice son riuscito a dimostrarla con il criterio di Leibniz,
ma non riesco a dimostrare la non convergenza assoluta.
In realtà mi è venuta in mente in'idea proprio ora che sto scrivendo, ma non so se è giusta:
$\sum_{n=1}^\infty \frac{\arctan(n)}{n} > \sum_{n=1}^\infty \frac{0.5}{n} \forall n\geq1$
Il carattere della serie dipende dalla sua coda, quindi
$\sum_{n=1}^\infty \frac{0.5}{n}$ si comporta come $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ che è la serie armonica con $\alpha\leq1$.
Allora la serie di partenza diverge assolutamente. (criterio asintotico + criterio del confronto?)
Grazie
$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{\arctan(n)}{n}$
La convergenza semplice son riuscito a dimostrarla con il criterio di Leibniz,
ma non riesco a dimostrare la non convergenza assoluta.
In realtà mi è venuta in mente in'idea proprio ora che sto scrivendo, ma non so se è giusta:
$\sum_{n=1}^\infty \frac{\arctan(n)}{n} > \sum_{n=1}^\infty \frac{0.5}{n} \forall n\geq1$
Il carattere della serie dipende dalla sua coda, quindi
$\sum_{n=1}^\infty \frac{0.5}{n}$ si comporta come $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ che è la serie armonica con $\alpha\leq1$.
Allora la serie di partenza diverge assolutamente. (criterio asintotico + criterio del confronto?)
Grazie
Risposte
Ciao JackedTux,
Beh, è molto semplice:
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\arctan(n)}{n} \ge \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\pi/4}{n} = \pi/4 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} $
L'ultima serie scritta è la serie armonica, com'è noto positivamente divergente.
Beh, è molto semplice:
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\arctan(n)}{n} \ge \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\pi/4}{n} = \pi/4 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} $
L'ultima serie scritta è la serie armonica, com'è noto positivamente divergente.
"pilloeffe":
Ciao JackedTux,
Beh, è molto semplice:
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\arctan(n)}{n} \ge \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\pi/4}{n} = \pi/4 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} $
L'ultima serie scritta è la serie armonica, com'è noto positivamente divergente.
ok, c'ero quasi.
Ma invece la convergenza di $\sum_{n=1}^\infty\frac{\ln(n+1)-\ln(n)}{n}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\ln(\frac{n+1}{n})}{n}$
Criterio del rapporto e della radice non concludono.
Ho provato a sostituire il logaritmo con la radice quadrata, ma non concludo lo stesso.
Rimarrebbe il test dell'integrale, ma spero ci sia un'alternativa più immediata
Non c'eri quasi, c'eri: è giusto anche il tuo approccio. Dato che $\arctan(n) \ge \pi/4$ per ogni $n \in \mathbb{N}\setminus\{0\}$ ed è $\pi/4>1/2=0.5$, funziona anche quello che hai fatto tu (anche se sorge spontaneo chiedersi come mai hai scelto $1/2$ 
).
[xdom="Mephlip"]Generalmente, è preferito un solo esercizio per post. Se vuoi chiedere per altri esercizi, apri un altro post per favore. Grazie![/xdom]
).[xdom="Mephlip"]Generalmente, è preferito un solo esercizio per post. Se vuoi chiedere per altri esercizi, apri un altro post per favore. Grazie![/xdom]
"Mephlip":
Non c'eri quasi, c'eri: è giusto anche il tuo approccio. Dato che $\arctan(n) \ge \pi/4$ per ogni $n \in \mathbb{N}\setminus\{0\}$ ed è $\pi/4>1/2=0.5$, funziona anche quello che hai fatto tu (anche se sorge spontaneo chiedersi come mai hai scelto $1/2$
Si, veramente pensavo anche io di averlo fatto giusto, ho detto così per portare le mani avanti,
magari avevo sbagliato od ero stato poco preciso nel giustificare l'ultimo passaggio, o per i termini usati, ecc.
@ pilloeffe ha risposto in una riga
$\frac{1}{2}$ è uscito dalla mia ignoranza:
che invece di sapere a memoria, come dovrei, che $\arctan(1)=\frac{pi}{4}$
ho preso la calcolatrice e l'ho calcolato, e anche li, nella mia ignoranza non mi sono accorto che $0.785... =\frac{pi}{4}$
e quindi ci ho messo direttamente un $0.5$
[xdom="Mephlip"]Generalmente, è preferito un solo esercizio per post. Se vuoi chiedere per altri esercizi, apri un altro post per favore. Grazie![/xdom]
Ok, che mi sembrava di aprirne troppi, e che l'esercizio non meritasse un post nuovo.
Grazie a te!
Sì, funziona anche come hai fatto tu: come ha scritto Mephlip ero solo curioso di sapere come avevi scelto proprio $1/2 $... 
Beh, ma è tutta esperienza, ne ho risolte di un po' più complicate, tipo questa...
(e il mio professore di Analisi matematica, che insegnava anche nel corso di laurea in Matematica, diceva che non avevo capito le serie... )
Se apri un nuovo post con la nuova serie ti risolviamo in una riga anche quella...
"JackedTux":
@ pilloeffe ha risposto in una riga
Beh, ma è tutta esperienza, ne ho risolte di un po' più complicate, tipo questa...
(e il mio professore di Analisi matematica, che insegnava anche nel corso di laurea in Matematica, diceva che non avevo capito le serie...
)"JackedTux":
Ok, che mi sembrava di aprirne troppi, e che l'esercizio non meritasse un post nuovo.
Se apri un nuovo post con la nuova serie ti risolviamo in una riga anche quella...
Tra l'altro mi pare che di questa serie si riesca a calcolare la somma.
"otta96":
Tra l'altro mi pare che di questa serie si riesca a calcolare la somma.
Di quella col logaritmo? Dici?...
Non mi viene nulla in mente, a parte scriverla come prodotto infinito; ma mi pare inutile.
No quella dell'arcotangente.
"otta96":
No quella dell'arcotangente.
Addirittura?!?
Non la vedo proprio... Ma sono anni che non faccio un po' di conti così.
Ciao otta96,
In effetti pare che risulti
$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{arctan(n)}{n} = - \frac{29107}{62500} $
In questo momento non mi sovviene nulla (forse una di quelle studiate da Ramanujan...), ma mi riprometto di approfondire la questione.
"otta96":
No quella dell'arcotangente.
In effetti pare che risulti
$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{arctan(n)}{n} = - \frac{29107}{62500} $
In questo momento non mi sovviene nulla (forse una di quelle studiate da Ramanujan...), ma mi riprometto di approfondire la questione.
Ok se era questo il risultato non era quella che ricordavo, ma era simile provo a ricercarla.
@otta96: Forse $\sum_{n=1}^\infty \arctan \frac{2}{n^2}$ o $\sum_{n=1}^\infty \arctan \frac{1}{n^2+n+1}$? Queste si esprimono come una serie telescopica usando l'identità dell'arcotangente della somma.
@Mephlip mi sa proprio che era la seconda che hai detto.
Ok, in ogni caso abbiamo dato in pasto a pilloeffe una bella sfida.
"Mephlip":
Forse $\sum_{n = 1}^{+\infty} arctan(2/n^2) $
Questa non credo, perché è proprio un caso particolare di quella che ho già citato in questo tread:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} arctan (2/n^2) = (3\pi)/4 $
Oltretutto non è a segni alterni come quella proposta, anche se poi in quella proposta le somme parziali si mantengono sempre negative.
"Mephlip":
Ok, in ogni caso abbiamo dato in pasto a pilloeffe una bella sfida.
Eh, ma questa la vedo duretta davvero...
"pilloeffe":
Ciao otta96,
[quote="otta96"]No quella dell'arcotangente.
In effetti pare che risulti
$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{arctan(n)}{n} = - \frac{29107}{62500} $[/quote]
La somma è razionale?
O quella è una buona approssimazione?
Come l'hai tirata fuori?
"gugo82":
La somma è razionale?
O quella è una buona approssimazione?
Come l'hai tirata fuori?
Non ti saprei dire, non è roba mia, ma di WolframAlpha: però è strano perché di solito quando approssima la somma di una serie usa il simbolo $~~$, mentre nel caso della serie proposta usa proprio il simbolo $=$, come a far intendere che la somma sia proprio quella...
Mah... A me non dà nulla. In output ho solo il diagramma delle somme parziali.
"gugo82":
Mah... A me non dà nulla. In output ho solo il diagramma delle somme parziali.
Eh, ma perché tu non sei pappa e ciccia con Stephen Wolfram...
Sto scherzando eh, non lo sono neanch'io...
Intanto da ingegnere abituato alle approssimazioni stavo osservando che sostituendo brutalmente ad $arctan(n) $ la quantità $(\lim_{n \to +\infty}arctan(n) - arctan(0))/2 = \pi/4 = arctan(1) $ si ottiene una buona stima della serie proposta, che già sappiamo essere convergente con somme parziali che rimangono negative, sicché vale la catena di disuguaglianze seguente:
$ - \pi/4 ln(2) = \pi/4 \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{n} < \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{arctan(n)}{n} < 0 $
Poi l'altra cosa che per adesso mi è venuta in mente è scriverla in modo diverso:
$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{arctan(n)}{n} = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{\pi/2 - arctan(1/n)}{n} = $
$ = \pi/2 \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n/n - \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n/n arctan(1/n) = - \pi/2 ln(2) + \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n + 1}/n arctan(1/n) $
Non che siano stati fatti grandi passi avanti, a parte essere passati ad una serie convergente le cui somme parziali sono tutte positive e minori di $1$ (quest'ultima serie ha somma $S$ tale che $0 < S < 1 $), ma in effetti questa seconda formulazione non mi pare che deponga a favore della razionalità della somma...
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