Dimostrare la divergenza della serie armonica.

[Maturando]

Salve forum, stavo cercando una semplice dimostrazione per la divergenza della serie aromonica. Sul mio libro c'è quella che tira in ballo gli integrali definiti e mi risulta abbastanza pesante. Ho trovato questa, che sembrerebbe una manna dal cielo, se solo avessi capito il perché sia vera E'questa:

"Supponiamo che la serie armonica converga, e sia S la sua somma. Si ha allora evidentemente: S = P + D, avendo indicato con P e D rispettivamente le somme delle serie dei termini pari e di quelli dispari. Mettendo in evidenza il fattore 1/2, si ha: P = S/2, e quindi P = D. D'altra parte un confronto termine a termine fornisce la diseguaglianza P < D. La contraddizione ottenuta dimostra la divergenza della serie."

Cioè perché D=S/2?

[Rigel1]

$P+D = S$ e $P=S/2$ implica $D= S/2$.

[Maturando]

Banale algebra!

Grazie, ciao

[blackbishop13]

Ok però il passaggio fallace della dimostrazione, o perlomeno che non è ben giustificato è:
se $S=P+D$ allora $P=S/2$. non è vero, visto che tu non sai quanto valgono $P$ e $D$.

mentre è vero che $D>P$, questo si può facilmente verificare.

comunque se volevi una dimostrazione quella non lo è..

[Rigel1]

Se supponi $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}$ convergente a $S$, allora $\frac{S}{2} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k} = P$.

[blackbishop13]

ok a posto!
grazie Rigel

[NightKnight1]

Che figata questa dimostrazione della divergenza della serie armonica!!!
Al prim'anno ce la dimostrarono usando il criterio di condensazione di Cauchy. Direi che è molto meglio questa dimostrazione.

[gugo82]

Per la serie Esistono millantamila modi per dimostrare la stessa cosa, segnalo questo articolo che ho scovato un po' di tempo fa: contiene ben 20 dimostrazioni diverse della divergenza della serie armonica.