Dimostrare la disuguaglianza triangolare per somme infinite
Ragazzi, a quanto pare la nuova sfida è quella di dimostrare che, se una serie converge assolutamente, allora vale la seguente versione (per somme infinite) della disuguaglianza triangolare:
$ |\sum_{k=0}^infty a^k| <= \sum_{k=0}^infty |a^k| $ ....come si fa?
E sopratutto, qualcuno potrebbe spiegarmi a parole che significa?
$ |\sum_{k=0}^infty a^k| <= \sum_{k=0}^infty |a^k| $ ....come si fa?
E sopratutto, qualcuno potrebbe spiegarmi a parole che significa?
Risposte
ti posso rispondere alla domanda "a parole" per farti rendere conto:
se hai una somma (pensa ad una somma algebrica finita) di tanti termini, tu li sommi con il loro segno, quindi quelli positivi e quelli negativi in qualche modo "si compensano" e in totale il valore assoluto è più piccolo della somma di tutti i numeri presi ciascuno in valore assoluto. nel finito, l'uguaglianza vale se e solo se quelli non nulli sono tutti dello stesso segno.
è chiaro?
se hai una somma (pensa ad una somma algebrica finita) di tanti termini, tu li sommi con il loro segno, quindi quelli positivi e quelli negativi in qualche modo "si compensano" e in totale il valore assoluto è più piccolo della somma di tutti i numeri presi ciascuno in valore assoluto. nel finito, l'uguaglianza vale se e solo se quelli non nulli sono tutti dello stesso segno.
è chiaro?
Chiarissimo 
grazie infinite, mio benefattore/benefattrice! 
grazie infinite, mio benefattore/benefattrice!
prego!... ehi, quanta grazia!
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