Dimostrare la continuità uniforme

[Frink88]

Salve a tutti, qualcuno può aiutarmi con questo esercizio?
Sia $a in RR$, $f:[a,+infty) rightarrow RR$, dimostrare che se f è continua ed esiste finito $lim_(x rightarrow +infty) f(x)$, allora f è uniformemente continua in $[a,+infty)$

f è uniformemente continua in $[a,+infty) Leftrightarrow $
$forall epsilon>0, exists delta>0 : forall x,y in [a,+infty),$ se $|x-y|
Per def di limite, $lim_(x leftarrow +infty) f(x)=l in RR Leftrightarrow forall epsilon>0, exists k(epsilon)>0 : forall x in [a,+infty),$ se $x>k Rightarrow |f(x)-l|
Quindi se $x,y>k$ si ha:
$|f(x)-f(y)|=|f(x)-l-f(x)+l|<=|f(x)-l|+|-f(x)+l|=|f(x)-l|+|f(x)-l| ovvero f è uniformemente continua se $x,y in (k,+infty)$

Mi rimane da controllare se $a<=x,y<=k$ ma essendo f continua in $[a,k]$ chiuso e limitato, f è ivi uniformemente continua per il teorema di Cantor-Heine per funzioni di una variabile.

E' corretto?
Ho qualche dubbio sull'ultima parte, se per esempio i due punti $x$ e $y$ fossero uno in $[a,k]$, l'altro in $(k,+infty)$?
Dovrei dimostrare che esiste almeno una distanza fra loro tale che le loro immagini siano ad una distanza fissata? Allora potevo scegliere come intervallo $[a,k+1]$, cosicchè, essendo anche $[a,k+1]$ chiuso e limitato
$forall epsilon>0 exists delta>0 $(scelgo $delta<1$)$: |x-y| Pertanto $forall x,y in [a,+infty)$ se vale $|x-y| Ha senso?

[gugo82]

Giusto.
Ma scrivilo un po’ meglio.