Dimostrare la completezza
Sia $(E,d)$ uno spazio metrico con $E=\{x=\{x_n\}_{n=0}^{\infty}: \s\u\p_k|x_k|<\infty\}$ l'insieme delle successioni limitate in $\mathbb{C}$ e $d=\s\u\p_k|x_k-y_k|$.
Per farmi una idea posso vedere nella condizione di Cauchy le successioni di successioni come insiemi numerati di successioni del tipo $x_{i}^{j}=(x_{l}^{1},x_{m}^{2},x_{n}^{3},\ ..)$. Devo mostrare che se una successione è di Cauchy allora converge in $E$. Quindi per $x_i^{j} \in E$ se $\s\u\p_{i}|x_{i}^{n}-x_{i}^{m}|<\epsilon => \s\u\p_{i}|x_{i}^{n}-x_{i}|<\epsilon$ da un certo $n,m$ in poi e $x_i \in E$. E' corretto?
Ora, ho che $\s\u\p_{i}|x_{i}^{n}-x_{i}^{m}|<\epsilon$. Non è detto a priori che $x_{i}^{j}$ convenga. Se considero però $i$ fissato ottengo una successione convergente (in $\mathbb{C}$ che con la metrica dell'estremo superiore forma uno spazio completo) dato che $|x_{i}^{n}-x_{i}^{m}|<=\s\u\p_{i}|x_{i}^{n}-x_{i}^{m}|<\epsilon$ e quindi $x_{i}^{n}->x_{i}$ (con $i$ fissato quindi $x_{i}$ è un numero complesso).
Ripetendo il ragionamento per ogni indice ottengo questa volta non solo un numero ma una successione limite $x_i$ e vale $|x_{i}^{n}-x_{i}|<= \epsilon$, ma se vale $\forall i$ vale anche per $\s\u\p_i|x_{i}^{n}-x_{i}|=d(x^{n},x)<= \epsilon$.
-E' corretto quanto scritto fin'ora?
-Per quale motivo (il imite) $x \in E$ ovvero $\s\u\p_i|x_i|<\infty$?
-Ho utilizzato da qualche parte il fatto che $x_{i}^{j}$ è una successione di successioni con le proprietà degli elementi di $E$? Voglio dire, se fosse $E=\{x=\{x_n\}_{n=0}^{\infty}}$ quanto detto varrebbe comunque?
Per farmi una idea posso vedere nella condizione di Cauchy le successioni di successioni come insiemi numerati di successioni del tipo $x_{i}^{j}=(x_{l}^{1},x_{m}^{2},x_{n}^{3},\ ..)$. Devo mostrare che se una successione è di Cauchy allora converge in $E$. Quindi per $x_i^{j} \in E$ se $\s\u\p_{i}|x_{i}^{n}-x_{i}^{m}|<\epsilon => \s\u\p_{i}|x_{i}^{n}-x_{i}|<\epsilon$ da un certo $n,m$ in poi e $x_i \in E$. E' corretto?
Ora, ho che $\s\u\p_{i}|x_{i}^{n}-x_{i}^{m}|<\epsilon$. Non è detto a priori che $x_{i}^{j}$ convenga. Se considero però $i$ fissato ottengo una successione convergente (in $\mathbb{C}$ che con la metrica dell'estremo superiore forma uno spazio completo) dato che $|x_{i}^{n}-x_{i}^{m}|<=\s\u\p_{i}|x_{i}^{n}-x_{i}^{m}|<\epsilon$ e quindi $x_{i}^{n}->x_{i}$ (con $i$ fissato quindi $x_{i}$ è un numero complesso).
Ripetendo il ragionamento per ogni indice ottengo questa volta non solo un numero ma una successione limite $x_i$ e vale $|x_{i}^{n}-x_{i}|<= \epsilon$, ma se vale $\forall i$ vale anche per $\s\u\p_i|x_{i}^{n}-x_{i}|=d(x^{n},x)<= \epsilon$.
-E' corretto quanto scritto fin'ora?
-Per quale motivo (il imite) $x \in E$ ovvero $\s\u\p_i|x_i|<\infty$?
-Ho utilizzato da qualche parte il fatto che $x_{i}^{j}$ è una successione di successioni con le proprietà degli elementi di $E$? Voglio dire, se fosse $E=\{x=\{x_n\}_{n=0}^{\infty}}$ quanto detto varrebbe comunque?
Risposte
Non basterebbero molte meno ipotesi per dimostrare qualcosa? Voglio dire, sia $(E,d)$ con $E=\{x=\{x\}_{i=0}^{\infty}\}$ e $d=|x_k-y_k|$ con $\{x\}_{i=0}^{\infty},\{y\}_{i=0}^{\infty} \in E$. Devo dimostrare che lo spazio è completo con questa metrica. Prendo una successione di Cauchy $\{x\}_{i=0}^{\infty}$,allora $\forall \epsilon >0 \exists \overline{n}\in\mathbb{N}:|x_{k}^{n}-y_k^{m}|<\epsilon $ con $n,m>\overline{n}$.
Se questo vale al variare di $k$ a maggior ragione vale con $k$ fissato: $\overline{k}$, quindi $|x_{\overline{k}}^{n}-y_{\overline{k}}^{m}|<\epsilon$, che è la condizione di Cauchy per successioni in $(R,d)$ che con tale metrica è completo, e la successione è convergente. Ripetendo il ragionamento per tutte le $k$ ottengo un limite $x_{k}^{n}->x_{k}$ e tale limite appartiene ad $E$. Una cosa non mi è molto chiara, la differenza fra:
-$\s\u\p_{x}|f_{n}(x)-f_{m}(x)|<\epsilon$
-$|f_{n}(x)-f_{m}(x)|<\epsilon$
Mi rispondo da solo, $d=|x_k-y_k|$ e $d=|f(x)-g(x)|$ mi sa che non sono neanche distanze.
Se questo vale al variare di $k$ a maggior ragione vale con $k$ fissato: $\overline{k}$, quindi $|x_{\overline{k}}^{n}-y_{\overline{k}}^{m}|<\epsilon$, che è la condizione di Cauchy per successioni in $(R,d)$ che con tale metrica è completo, e la successione è convergente. Ripetendo il ragionamento per tutte le $k$ ottengo un limite $x_{k}^{n}->x_{k}$ e tale limite appartiene ad $E$. Una cosa non mi è molto chiara, la differenza fra:
-$\s\u\p_{x}|f_{n}(x)-f_{m}(x)|<\epsilon$
-$|f_{n}(x)-f_{m}(x)|<\epsilon$
Mi rispondo da solo, $d=|x_k-y_k|$ e $d=|f(x)-g(x)|$ mi sa che non sono neanche distanze.
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