Dimostrare integrabilità impropria funzione due variabili
Salve a tutti, avrei dei dubbi sul come dimostrare l'integrabilità impropria di funzioni a due variabili su insiemi illimitati e in particolare con questo esercizio:
Sia $E = {(x,y) \in R^2 : x > 0, |y| <= 1, x^4y^2 < 1}$ e $f(x,y) = xsqrt(|y|)$
L'esercizio chiede: dopo aver dimostrato che la funzione è integrabile su E (illimitato) calcolare $\int_Ef(x,y)$
Dalla teoria so che una funzione è integrabile in senso improprio se e solo se è integrabile in senso assoluto, ovvero se esiste finito $\int_E|f(x,y)|$ e, se esiste finito, l'integrale vale $\int_Ef(x,y)$.
In questo caso però la funzione è sempre positiva su E quindi posso direttamente calcolare l'integrale senza valore assoluto:
$\int_Ef(x,y)dxdy = 2\int_0^1dx\int_0^1dyxsqrt(y)+2lim_n\int_1^ndx\int_0^(1/x^2)xsqrt(y)dy$ dove ho usato il fatto che $f$ è pari rispetto la $y$ ed $E$ simmetrico rispetto l'asse $x$.
Quindi se viene un numero finito posso dire che la funzione è integrabili mentre se diverge dico che non è integrabile giusto?
Sia $E = {(x,y) \in R^2 : x > 0, |y| <= 1, x^4y^2 < 1}$ e $f(x,y) = xsqrt(|y|)$
L'esercizio chiede: dopo aver dimostrato che la funzione è integrabile su E (illimitato) calcolare $\int_Ef(x,y)$
Dalla teoria so che una funzione è integrabile in senso improprio se e solo se è integrabile in senso assoluto, ovvero se esiste finito $\int_E|f(x,y)|$ e, se esiste finito, l'integrale vale $\int_Ef(x,y)$.
In questo caso però la funzione è sempre positiva su E quindi posso direttamente calcolare l'integrale senza valore assoluto:
$\int_Ef(x,y)dxdy = 2\int_0^1dx\int_0^1dyxsqrt(y)+2lim_n\int_1^ndx\int_0^(1/x^2)xsqrt(y)dy$ dove ho usato il fatto che $f$ è pari rispetto la $y$ ed $E$ simmetrico rispetto l'asse $x$.
Quindi se viene un numero finito posso dire che la funzione è integrabili mentre se diverge dico che non è integrabile giusto?
Risposte
Ciao Ale112,
Giusto. Se non ho fatto male i conti mi risulta integrabile:
$\int \int_E f(x,y)\text{d}x\text{d}y = 2 \cdot \int_0^1 x \text{d}x \int_0^1 \sqrt(y) \text{d}y +2 \cdot \lim_{n \to +\infty} \int_1^n x text{d}x \int_0^{1/x^2}\sqrt(y) \text{d}y = 2 \cdot 1/3 + 2 \cdot 2/3 = 2 $
"Ale112":
Quindi se viene un numero finito posso dire che la funzione è integrabile mentre se diverge dico che non è integrabile giusto?
Giusto. Se non ho fatto male i conti mi risulta integrabile:
$\int \int_E f(x,y)\text{d}x\text{d}y = 2 \cdot \int_0^1 x \text{d}x \int_0^1 \sqrt(y) \text{d}y +2 \cdot \lim_{n \to +\infty} \int_1^n x text{d}x \int_0^{1/x^2}\sqrt(y) \text{d}y = 2 \cdot 1/3 + 2 \cdot 2/3 = 2 $
Grazie! invece se non era sempre positiva su E dovevo prima fare l'integrale del valore assoluto vero?
"Ale112":
Grazie!
Prego!
"Ale112":
invece se non era sempre positiva su $E$ dovevo prima fare l'integrale del valore assoluto vero?
In generale diciamo che il modulo o valore assoluto dà spesso fastidio, quindi si cerca di eliminarlo tipicamente sfruttando le simmetrie del dominio e le caratteristiche della funzione come è stato fatto nel caso in esame. Se la funzione non fosse stata sempre positiva su $E$ avresti dovuto tener presente la definizione di $|y|$ e quindi considerare $\sqrt{-y} $ per $y < 0 $ e $\sqrt{y} $ per $y > 0 $
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