Dimostrare il limite di funzione in due variabili usando la definizione

[bugger]

Ciao a tutti,

purtroppo ho sempre incontrato delle difficoltà nell'usare la definizione per dimostrare l'esistenza di un limite.
Non riesco a capire "la strada" da seguire, o se semplicemente visto ad "occhio".
Ad esempio, usando la definizione devo dimostrare che
$lim_{(x,y)->(0,0)}\frac{x^4}{x^2+y^2}=0$

Io so che la definizione è la seguente
$ lim_{(x,y)->(0,0)}f(x,y)=l hArr \forall \epsilon>0 \exists\delta>0 : \forall(x,y)\inD-{(x_0,y_0)} $
$ \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta \rArr |f(x,y)-l|<\epsilon $

che applicata al mio limite dovrebbe essere
$\forall \epsilon>0 \exists\delta>0 : \forall(x,y)\inD-{(0,0)} $
$ \sqrt{x^2+y^2}<\delta \rArr |\frac{x^4}{x^2+y^2}-0|<\epsilon $

Il valore assoluto della funzione lo posso togliere, in questo caso, in quanto la funzione è sempre positiva (avendo le $x$ e $y$ esponente pari)
$ |\frac{x^4}{x^2+y^2}-0|<\epsilon \rArr \frac{x^4}{x^2+y^2}<\epsilon $
e da qui come mi comporto?

Grazie a tutti

[quantunquemente]

$x^4/(x^2+y^2)leqx^2$
ora basta mettersi in un intorno circolare dell'origine con raggio $r

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[bugger]

Ecco si, questo è pure il risultato stampato sul libro. Ma come ci arrivo?

Grazie

[dissonance]

In questo caso hai anche le coordinate polari che ti possono semplificare moltissimo la vita:
\[
\begin{cases}
x=r\cos \phi \\
y=r\sin \phi
\end{cases}
\]

[bugger]

Non abbiamo mai parlato di coordinate polari. Non saprei come applicarle

[dissonance]

Allora scrivi $x^4=x^2cdot x^2$ e usa il fatto super-ovvio che $x^2\le x^2+y^2$, che poi è esattamente quanto ha fatto quantunquemente.