Dimostrare disuguaglianza Jensen con disuguaglianza Young
Buonasera. Un esercizio del libro chiede di dimostrare il seguente caso particolare della disuguaglianza di Jensen:
$ (int_(0)^(1) |f(x)|dx)^2<=int_(0)^(1)f^2(x)dx $ $AA finC ([0;1])$
Utilizzando la disuguaglianza di Young ponendo $x=1$ e $y=f(x)$ e scegliendo opportunamente $epsilon$
Nel libro la disuguaglianza di Young è scritta in questa forma:
$ 2|xy|<=epsilon^2x^2+y^2/epsilon^2 $ $AAx,y,epsiloninR,epsilon>0$
Non riesco però a capire come determinare $epsilon$
$ (int_(0)^(1) |f(x)|dx)^2<=int_(0)^(1)f^2(x)dx $ $AA finC ([0;1])$
Utilizzando la disuguaglianza di Young ponendo $x=1$ e $y=f(x)$ e scegliendo opportunamente $epsilon$
Nel libro la disuguaglianza di Young è scritta in questa forma:
$ 2|xy|<=epsilon^2x^2+y^2/epsilon^2 $ $AAx,y,epsiloninR,epsilon>0$
Non riesco però a capire come determinare $epsilon$
Risposte
La disuguag. di Young ci dice che:
Siano $h(x),g(x)\in C^0([a,b],RR)$ e siano $p>1$ e $q>1$ due numeri reali tali che $1/p+1/q=1$, allora
$|hg|\leq |h|^p/p+|g|^q/q$
Nel nostro caso $p=q=2$ prova ora a scegliere $h(x)=1/(\sqrt(\int_{0}^{1}dx))=1$ e $g(x)=f(x)/(\sqrt(\int_{0}^{1}f^2dx))$
Attenzione a distinguere il caso $f(x)$ identicamente nulla in $[0,1]$.
Siano $h(x),g(x)\in C^0([a,b],RR)$ e siano $p>1$ e $q>1$ due numeri reali tali che $1/p+1/q=1$, allora
$|hg|\leq |h|^p/p+|g|^q/q$
Nel nostro caso $p=q=2$ prova ora a scegliere $h(x)=1/(\sqrt(\int_{0}^{1}dx))=1$ e $g(x)=f(x)/(\sqrt(\int_{0}^{1}f^2dx))$
Attenzione a distinguere il caso $f(x)$ identicamente nulla in $[0,1]$.
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