Dimostrare decrescenza serie per applicazione di leibniz
Salve,
mi trovo numerose volte a dover trovare il carattere di serie a segni alterni in particolare nella forma $(-1)^n a_n$.
Per applicare il primo criterio di Leibniz dopo aver trovato che $a_n > 0 AA n$ e che $a_n$ sia infinitesimo devo riuscire a provare che $a_(n+1) < a_n$ e che quindi la successione sia monotona decrescente.
Visto che quando $a_n$ e' una funzione trascendente la cosa si fa poco semplice, se dimostro che la sua derivata prima e' $< 0 AA n >0,1...$ in base al termine iniziale della serie sbaglio in qualcosa? o devo dimostrare per forza con la disequazione?
Lo chiedo perche' ad esempio avendo $sin(n) > sin(n+1)$ non so proprio come approcciarmi al problema, mentre con lo studio della derivata tutto si risolverebbe poco piu' semplicemente.
mi trovo numerose volte a dover trovare il carattere di serie a segni alterni in particolare nella forma $(-1)^n a_n$.
Per applicare il primo criterio di Leibniz dopo aver trovato che $a_n > 0 AA n$ e che $a_n$ sia infinitesimo devo riuscire a provare che $a_(n+1) < a_n$ e che quindi la successione sia monotona decrescente.
Visto che quando $a_n$ e' una funzione trascendente la cosa si fa poco semplice, se dimostro che la sua derivata prima e' $< 0 AA n >0,1...$ in base al termine iniziale della serie sbaglio in qualcosa? o devo dimostrare per forza con la disequazione?
Lo chiedo perche' ad esempio avendo $sin(n) > sin(n+1)$ non so proprio come approcciarmi al problema, mentre con lo studio della derivata tutto si risolverebbe poco piu' semplicemente.
Risposte
Non si chiamano funzioni trascendentali, ma funzioni trascendenti 
In maniera poco formale, data una successione $f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$ è possibile utilizzare il teorema ponte (sempre che si rispettino le ipotesi) che ti permette di passare dalla successione alla funzione ad essa associata $f:[0, +\infty)\to\mathbb{R}$ e studiare quest'ultima con le tecniche classiche di analisi matematica. In realtà, lo studio della successione $(a_n)_n$ dipende fortemente dalla sua espressione e di solito è possibile evitare lo studio di funzione.
In maniera poco formale, data una successione $f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$ è possibile utilizzare il teorema ponte (sempre che si rispettino le ipotesi) che ti permette di passare dalla successione alla funzione ad essa associata $f:[0, +\infty)\to\mathbb{R}$ e studiare quest'ultima con le tecniche classiche di analisi matematica. In realtà, lo studio della successione $(a_n)_n$ dipende fortemente dalla sua espressione e di solito è possibile evitare lo studio di funzione.
"Mathematico":Io direi "ad una" funzione ad essa associata, visto che in linea di principio ce ne sono parecchie. E questo non per conseguenza di fantasmagorici "teoremi ponte"
data una successione $f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$ è possibile [...] passare dalla successione alla funzione ad essa associata $f:[0, +\infty)\to\mathbb{R}$[...]
ma per un fatto tutto sommato ovvio, a livello intuitivo: assegnate coppie $(1, a_1), (2, a_2), (3, a_3)...$ esiste sempre almeno una funzione continua tale che $f(n)=a_n$ per ogni $n$. Mi pare più semplice, così, no? Ma forse interpreto male quanto dici.
In tutti i modi io consiglio sull'argomento di fare una ricerca nei post di Gugo che in alcune occasioni ha spiegato nel dettaglio come studiare l'andamento delle successioni.
Sorry per l'errore di lessico, ho rettificato.
Comunque il mio problema non e' tanto definire il carattere di una seria, ma dimostrare che essa sia decrescente.
Col passaggio da successione a funzione, che mi pare sia lecito, posso incontrare qualche incongruenza nei calcoli? A primo impatto direi palesemente di no.
Comunque il mio problema non e' tanto definire il carattere di una seria, ma dimostrare che essa sia decrescente.
Col passaggio da successione a funzione, che mi pare sia lecito, posso incontrare qualche incongruenza nei calcoli? A primo impatto direi palesemente di no.
"dissonance":
Io direi "ad una" funzione ad essa associata, visto che in linea di principio ce ne sono parecchie.
Probabilmente hai ragione, ma non ne sono convinto sai
. Ci debbo pensare meglio. A questo punto nasce spontanea la domanda: Quali sono le condizioni affinchè si abbia un'unica funzione? Anche su questa ci penserò "dissonance":
E questo non per conseguenza di fantasmagorici "teoremi ponte"
Mi pare più semplice, così, no? Ma forse interpreto male quanto dici.
In tutti i modi io consiglio sull'argomento di fare una ricerca nei post di Gugo che in alcune occasioni ha spiegato nel dettaglio come studiare l'andamento delle successioni.
Nono, non hai interpretato male, sono io che ho risposto d'impulso e senza pensarci, dopotutto, i teoremi ponte si utilizzano per i limiti
... Chissà dove ho la testa 
Grazie mille dissonance
[Edit]: Mi sono convinto che non è unica, però se chiediamo che $f\in C_{\infty}(\mathbb{R})$ forse ho l'unicità? Sono stanco, vado a letto che è meglio
[Edit2]: Non basta nemmeno la "C-infinitezza"
, forse è necessario che la lunghezza della curva che unisce un termine della successione e il suo successivo sia minima.
"Mathematico":
[Edit]: Mi sono convinto che non è unica, però se chiediamo che $f\in C_{\infty}(\mathbb{R})$ forse ho l'unicità? Sono stanco, vado a letto che è meglio
[Edit2]: Non basta nemmeno la "C-infinitezza"
@Mathematico: Ovviamente la funzione non è unica, infatti data $h$ la funzione tale che $h(n)=a_n\ forall n$ ti basterà prendere una funzione che si annulla sui naturali e sommargliela. esempio $g(x)=sin(x pi)$; se vuoi poi ci vai a mettere una costante naturale nell'argomento per trovarne altre.
Per quanto riguarda la distanza hai che la funzione di minima distanza è quella che collega i punti mediante segmenti; è continua ma non è detto sia derivabile (anzi sarà difficeie). Sicuramente una condizione sufficiente è che i punti siano allineati, ad intuito mi pare che sia anche necessaria, altrimenti avremo un punto dove ci sarà un cambio di pendenza.
Ti dico infine che se consideri la distanza tra $(n,a_n)$ e $(n+1,a_(n+1))$ sarà maggiore uguale di 1 (l'ipotenusa è più lunga dei due cateti) e quindi se consideri $d_n$ la distanza trai due punti consecutivi sopra hai che
$sum_id_i=infty$
A questo punto nasce spontanea la domanda: Quali sono le condizioni affinchè si abbia un'unica funzione?
@Mathematico: Questa domanda è propria di una teoria molto antica e molto ricca che si chiama dell'interpolazione. Se la questione ti interessa potresti pensare ad iscriverti ad un corso di calcolo numerico.
@f0rbid: La tecnica di studiare l'andamento di una successione $a_n$ studiando invece una funzione continua $f:[0, +\infty) \to RR$ tale che $f(n)=a_n$ si dice in gergo il passaggio ad una variabile continua. E' una tecnica che si usa, ma molto spesso si possono risolvere gli esercizi con strumenti più semplici e veloci. Una raccomandazione: se decidi di passare a variabile continua, ricordati di segnalarlo esplicitamente e di usare simboli diversi per la variabile discreta e per quella continua. Insomma, non scrivere obbrobri come
$(d(a_n))/(dn)$ (!)
infatti non ha senso prendere derivate rispetto a variabili discrete.
dissonance, ok perfetto. Lo so che ci sono metodi piu' veloci pero' riguardo le mie conoscenze quando ho disequazioni strane meglio se passo alla variabile continua esplicitando il tutto con una simbologia ovviamente differente.
@ f0rbid: Scusami se ho scombussolato un po' (eufemisticamente parlando) il tuo thread.
@ Dissonance, ti ringrazio. In realtà sono a conoscenza dei metodi di interpolazione in cui però intervengono un numero finito di nodi, non ho mai però trattato il caso in cui si ha un' infinità numerabile di questi (e siceramente non mi sono mai posto il problema, my fault). Se hai del materiale da consigliarmi, o un testo che tratti questa cosa, sarei ben lieto di approfondire.
@ DajeForte: Mille grazie
@ Dissonance, ti ringrazio. In realtà sono a conoscenza dei metodi di interpolazione in cui però intervengono un numero finito di nodi, non ho mai però trattato il caso in cui si ha un' infinità numerabile di questi (e siceramente non mi sono mai posto il problema, my fault). Se hai del materiale da consigliarmi, o un testo che tratti questa cosa, sarei ben lieto di approfondire
.@ DajeForte: Mille grazie
@Mathematico: Ah, ok, scusami allora, avevo pensato che tu non conoscessi proprio l'argomento. Magari a questo punto converrebbe aprire un altro topic con una domanda formulata in modo preciso e se ne discute insieme. Detto così a naso io credo che esistano sempre infinite funzioni $C^{\infty}$ che interpolino i dati ${(n, a_n)\ :\ n \in NN}$, mentre se richiediamo analiticità c'è da ballare.
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