Dimostrare decrescenza senza derivate

[marcobj99]

Buonasera, ho difficoltà con questo esercizio

Verificare che la funzione g (x) = 1− (x^2)/2 −cosx e' decrescente per x ≥ 0.

E' il coseno che mi dà difficoltà.. perchè è crescente/decrescente a seconda della zona considerata

[cooper1]

perchè non vuoi usare le derivate? sinceramente mi viene in mente solo con quelle:
$g'(x)=sinx-x >= 0 rArr x<=0$ quindi nell'intervallo dato risulta decrescente.

[marcobj99]

Perchè l'esercizio chiede di dimostrarlo senza derivate...

[dissonance]

E la formula di Taylor, si può usare?

[marcobj99]

No, neanche..

[Otsuaf1]

Allora io direi di applicare la definizione di decrescenza siano $x_{1} < x_{2}$ allora vogliamo che $g(x_{1} )>g(x_{2})$. Consideriamo $x,x+t$ con $t>0$.
$g(x+t)=1-\frac{(x+t)^{2}}{2} -cos(x+t)$
Facendo i conti dovresti vedere g(x+t)

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[cooper1]

a me però non sembra che $cos(x+t)>cosx, AAx,t$. come giustificheresti la maggiorazione?

[marcobj99]

Esatto, è proprio quello il problema... perchè la funzione coseno è crescente o decrescente a seconda del quadrante in cui ci si trova.. perciò non riesco proprio a capire

[cooper1]

Purtroppo non so aiutarti se non usando le derivate. Non mi viene in mente nessun ragionamento che possa bypassare "l'irregolarità " (passami il termine) del coseno se non lo studio della derivata.
Aspettiamo qualcuno che ne sappia di più e vediamo. sono curioso di sapere come si possa risolvere

[otta96]

Non è che magari hai definito il coseno tramite la sua serie di Taylor? si semplificherebbe...

[Mathita]

Beh, si potrebbe tentare questo approccio.

Siano $0\le x
$g(y)-g(x)=\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}+\cos(x)-\cos(y)$

Per le formule di prostaferesi, essa diventa

$g(y)-g(x)=\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}-2\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\sin(\frac{x+y}{2})=$

$=\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}+2\sin\left(\frac{y-x}{2}\right)\sin(\frac{x+y}{2})$

A questo punto ricordiamo che per $a\ge 0$ sussiste la disuguaglianza notevole

$\sin(a)\le a$

la quale giustifica la seguente

$g(y)-g(x)\le \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}+2\frac{y-x}{2}\frac{x+y}{2}=0$

pertanto $g(y)-g(x)\le 0 \implies g(y)\le g(x)$ se $0\le x
[Edit] Se si osserva inoltre che $\sin(a)=a$ se e solo se $a=0$, si vede che la decrescenza di $g(x)$ è stretta.

[cooper1]

"Mathita":Beh, si potrebbe tentare questo approccio.

penso si intendesse proprio questo. carino, mi dimentico sempre l'esistenza di Prostaferesi (ed anche Werner per la verità)

[marcobj99]

Ti ringrazio.. penso fosse proprio questo il metodo richiesto, visto che non abbiamo parlato ancora di Taylor e derivate.. grazie!