Dimostrare che vale la disuguaglianza
Si dimostri che per ogni n appartenente ad N vale la disuguaglianza:
$1+4+9+...+n^2 > n ^3/3$
$1+4+9+...+n^2 > n ^3/3$
Risposte
Nessuna idea?
Forse con il metodo di induzione...avrei qualche difficoltà ad applicarlo...se mi potete aiutare.,grazie
Puoi provare a cercare la successione delle somme parziali per il primo membro.
cioè...come si fa? me lo puoi dire
Imposta il ragionamento per induzione.
Non è difficile, prova.
Non è difficile, prova.
É evidente che per n =1 è vera. Infatti sostituendo 1 al posto di n si ottiene che 1>1/3
Occorre dimostrare che é anche vera la formula che si ottiene sostituendo n +1 al posto di n... Sono arrivato sino a qui dopo non so come continuare.,mi potete dire voi come continuare dicendomi tutti i passaggi.. Grazie
Occorre dimostrare che é anche vera la formula che si ottiene sostituendo n +1 al posto di n... Sono arrivato sino a qui dopo non so come continuare.,mi potete dire voi come continuare dicendomi tutti i passaggi.. Grazie
Vuoi far vedere che:
\[
\sum_{k=1}^n k^2 \geq \frac{n^3}{3}\quad \Rightarrow \quad \sum_{k=1}^{n+1} k^2 \geq \frac{(n+1)^3}{3}\; ,
\]
giusto?
Allora comincia a prendere la somma che figura nella disuguaglianza al secondo membro e cerca di minorarla, sfruttando l'ipotesi induttiva e qualche altra disuguaglianza.
Ad esempio, hai:
\[
\sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \sum_{k=1}^n k^2 + (n+1)^2
\]
quindi puoi applicare l'ipotesi induttiva per ottenere...
\[
\sum_{k=1}^n k^2 \geq \frac{n^3}{3}\quad \Rightarrow \quad \sum_{k=1}^{n+1} k^2 \geq \frac{(n+1)^3}{3}\; ,
\]
giusto?
Allora comincia a prendere la somma che figura nella disuguaglianza al secondo membro e cerca di minorarla, sfruttando l'ipotesi induttiva e qualche altra disuguaglianza.
Ad esempio, hai:
\[
\sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \sum_{k=1}^n k^2 + (n+1)^2
\]
quindi puoi applicare l'ipotesi induttiva per ottenere...
ok..mi potresti fare i passaggi....
Guarda, non è questo lo spirito del forum, soprattutto per quel che riguarda le cose di base.
I passaggi prima prova a farli tu, a postarli ed a dire dove e perché ti blocchi; poi se ne parla insieme ed eventualmente ti si scrive come venirne a capo.
I passaggi prima prova a farli tu, a postarli ed a dire dove e perché ti blocchi; poi se ne parla insieme ed eventualmente ti si scrive come venirne a capo.
É evidente che per n =1 è vera. Infatti sostituendo 1 al posto di n si ottiene che 1>1/3
Occorre dimostrare che é anche vera la formula che si ottiene sostituendo n +1 al posto di n, ossia
$1+4+9+...+(n+1)^2 > \frac{(x+1)^3}{3}$ (2)
supposta vera $1+4+9+...+n^2 > \frac{x^3}{3}$;
sommando a entrambi i membri di essa $(n+1)^2$, si ottiene
$1+4+9+...+n^2+(n+1)^2 > \frac{x^3}{3}+ (n+1)^2$
ecco qui mi sono bloccato perché svolgendo i calcoli mi viene
$1+...+(n+1)^2 > \frac{x^3+3n^2+6n+3}{3}$
che non è quello che mi dovrebbe uscire... mi dovrebbe risultare la (2)... mi aiutate dove ho sbagliato...grazie
Occorre dimostrare che é anche vera la formula che si ottiene sostituendo n +1 al posto di n, ossia
$1+4+9+...+(n+1)^2 > \frac{(x+1)^3}{3}$ (2)
supposta vera $1+4+9+...+n^2 > \frac{x^3}{3}$;
sommando a entrambi i membri di essa $(n+1)^2$, si ottiene
$1+4+9+...+n^2+(n+1)^2 > \frac{x^3}{3}+ (n+1)^2$
ecco qui mi sono bloccato perché svolgendo i calcoli mi viene
$1+...+(n+1)^2 > \frac{x^3+3n^2+6n+3}{3}$
che non è quello che mi dovrebbe uscire... mi dovrebbe risultare la (2)... mi aiutate dove ho sbagliato...grazie
Innanzitutto, devi scrivere \(n\) al secondo membro, e non \(x\).
Fatta questa correzione, hai praticamente finito, perché puoi minorare come segue:
\[
1+\cdots +n^2+(n+1)^2 > \frac{n^3+3n^2+\overbrace{6n+3}^{>3n+1}}{3} > \frac{n^3+3n^2+3n+1}{3}=\frac{(n+1)^3}{3}
\]
no?
Fatta questa correzione, hai praticamente finito, perché puoi minorare come segue:
\[
1+\cdots +n^2+(n+1)^2 > \frac{n^3+3n^2+\overbrace{6n+3}^{>3n+1}}{3} > \frac{n^3+3n^2+3n+1}{3}=\frac{(n+1)^3}{3}
\]
no?
scusa potresti spiegarti meglio..come faccio a capire che posso minorare???
Dall'algebra si conosce che :
$1^2+2^2+3^2+...+n^2=(n(n+1)(2n+1))/6=(2n^3+3n^2+n)/6=(n^3)/3+(3n^2+n)/6$
e poiché per n intero positivo è certamente $(3n^2+n)/6>0 $ , segue chiaramente che :
$1^2+2^2+3^2+...+n^2>(n^3)/3$
$1^2+2^2+3^2+...+n^2=(n(n+1)(2n+1))/6=(2n^3+3n^2+n)/6=(n^3)/3+(3n^2+n)/6$
e poiché per n intero positivo è certamente $(3n^2+n)/6>0 $ , segue chiaramente che :
$1^2+2^2+3^2+...+n^2>(n^3)/3$
"rsist":
scusa potresti spiegarti meglio..come faccio a capire che posso minorare???
Beh, tu hai al secondo membro:
\[
\frac{n^3+3n^2+6n+3}{3}
\]
ma vorresti avere:
\[
\frac{n^3+3n^2+3n+1}{3}=\frac{(n+1)^3}{3}\; ;
\]
dal confronto tra cosa hai e cosa vuoi è chiaro che nel tuo secondo membro c'è un \(6n+3\) "di troppo", quindi devi puntare a "rimpiazzare" tale quantità con quella che ti "fa gioco", cioé \(3n+1\).
Ora, per \(n\) naturale è evidente che \(6n\geq 3n\) e, d'altra parte, è \(3>1\); quindi per ogni naturale hai certamente \(6n+3>3n+1\) e perciò:
\[
\frac{n^3+3n^2+6n+3}{3} > \frac{n^3+3n^2+3n+1}{3}=\frac{(n+1)^3}{3}\; .
\]
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