Dimostrare che un'equazione integrale ammette soluzione
Buongiorno a tutti, ho un dubbio sul seguente quesito:
sia $F(x) =\int_{1}^{arctan(x)} \root()(t^2+t+1) dt$ , dominio $RR$; dimostrare che l'equazione $F(x)=1/2$ ammette una e una sola soluzione.
Per l'unicità della soluzione, ho pensato di dimostrare che si tratta di una funzione monotona crescente, infatti:
$F'(x) = 1/(1+x^2)\root()(arctan^2(x)+arctan(x)+1)>0$ $\forall x in RR$
E quindi, la funzione al massimo una sola volta può valere $1/2$
Per l'esistenza della soluzione ho dei dubbi. Pensavo di usare il teorema dei valori intermedi:
1) So che la funzione di partenza è continua
2) So che per $x=tan(1), F(x)=0$ perchè coincidono gli estremi di integrazione.
3) Come faccio a trovare un valore per cui la funzione vale un valore superiore rispetto a $1/2$, in modo da poter concludere che sicuramente esista un valore per cui la funzione vale $1/2$? Devo per forza risolvere l'integrale?
sia $F(x) =\int_{1}^{arctan(x)} \root()(t^2+t+1) dt$ , dominio $RR$; dimostrare che l'equazione $F(x)=1/2$ ammette una e una sola soluzione.
Per l'unicità della soluzione, ho pensato di dimostrare che si tratta di una funzione monotona crescente, infatti:
$F'(x) = 1/(1+x^2)\root()(arctan^2(x)+arctan(x)+1)>0$ $\forall x in RR$
E quindi, la funzione al massimo una sola volta può valere $1/2$
Per l'esistenza della soluzione ho dei dubbi. Pensavo di usare il teorema dei valori intermedi:
1) So che la funzione di partenza è continua
2) So che per $x=tan(1), F(x)=0$ perchè coincidono gli estremi di integrazione.
3) Come faccio a trovare un valore per cui la funzione vale un valore superiore rispetto a $1/2$, in modo da poter concludere che sicuramente esista un valore per cui la funzione vale $1/2$? Devo per forza risolvere l'integrale?
Risposte
Ciao BuioPesto,
Beh, ad esempio $ \lim_{x \to +\infty} F(x) $ ?
Comunque quell'integrale non è impossibile se consideri che si ha:
$t^2 + t + 1 = (t + 1/2)^2 + 3/4 = (t + 1/2)^2 + (\sqrt3/2)^2 $
Beh, ad esempio $ \lim_{x \to +\infty} F(x) $ ?
"BuioPesto":
Devo per forza risolvere l'integrale?
Comunque quell'integrale non è impossibile se consideri che si ha:
$t^2 + t + 1 = (t + 1/2)^2 + 3/4 = (t + 1/2)^2 + (\sqrt3/2)^2 $
"BuioPesto":
Devo per forza risolvere l'integrale?
No, non devi calcolarlo per forza. Suggerimento: se $x$ è abbastanza grande, allora valgono $x>\tan 1$ e $\sqrt{t^2+t+1}>1$.
"pilloeffe":
Ciao BuioPesto,
Beh, ad esempio $ \lim_{x \to +\infty} F(x) $ ?
Però se considero il limite non devo poi obbligatoriamente risolvere l'integrale?
So che per $x$ $rarr$ $infty$, $arctan(x)$ $rarr$ $pi/2$, però senza calcolare esplicitamente l'integrale, come posso dire che sicuramente assumerà un valore maggiore di $1/2$?
Hai provato a ragionare su quello che ti ho suggerito?
"Mephlip":
Hai provato a ragionare su quello che ti ho suggerito?
Ho un'idea, ma non so se è corretta.
In base al tuo suggerimento, per x grandi:
$\int_{1}^{arctan(x)} \root()(t^2+t+1) dt> \int_{1}^{arctan(x)} 1 dt = arctan(x) - 1$
Ora io so che $lim_(x-> + infty)arctan(x)-1= pi/2-1 > 1/2$
E quindi, sicuramente anche la funzione integrale, per x che tende ad infinito, assumerà valori maggiori di 1/2.
E' corretto?
Sì. Dalla definizione di limite, sai che esiste $M>0$ tale che $[x>M] \implies \left[\lim_{x \to +\infty} F(x) \ge \frac{\pi}{2}-1\right]$. Questo, unito a quello che hai già detto nel tuo post iniziale, basta per concludere (andrebbe notato che il limite $\lim_{x \to +\infty} F(x)$ esiste per monotonia). Ti è chiaro perché deve essere $x>\tan 1?$
"Mephlip":
Ti è chiaro perché deve essere $x>\tan 1?$
Onestamente non molto.. Dipende dal fatto che per $x< tan (1)$ l'integrale sarebbe minore di 0?
Sì, l'integrale sarebbe negativo, ma è per una questione di monotonia. Se $f$ e $g$ sono integrabili su $[a,b]$, $f(x) \le g(x)$ per ogni $x \in [a,b]$ e $[a,b]$ è positivamente orientato (ossia, $a \le b$), allora $\int_a^b f(x) \text{d}x \le \int_a^b g(x) \text{d}x$. Se manca una sola di queste tre è falso. Un esempio adatto al contesto di questo post è il seguente: le funzioni costanti $1$ e $2$ sono integrabili, è $1<2$ ma $\int_0^{-1} 1\text{d}x=-1> -2=\int_0^{-1}2 \text{d}x$. Quindi, è per assicurarci che $\arctan x>1$.
Ho capito! Grazie mille!
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