Dimostrare che un'applicazione sia una metrica in R^n

[Vito L]

Salve a tutti potreste darmi una mano a dimostrare che questa applicazione, $d:RR^n\timesRR^n->RR$ t.c. $AA (x,y) in RR^n\timesRR^n , d(x,y)=||x||+||y||$ sia una metrica su $RR^n$

Grazie mille,
Vito L

[Rigel1]

"Vito L": $d:RR^n\timesRR^n->RR$ t.c. $AA (x,y) in RR^n\timesRR^n , d(x,y)=||x||+||y||$ sia una metrica su $RR^n$

Temo che non lo sia (ad esempio, non soddisfa la proprietà di annullamento).

[Maci86]

Quanto vale la distanza di $x$ da se stesso?

[Vito L]

"Rigel":[quote="Vito L"] $d:RR^n\timesRR^n->RR$ t.c. $AA (x,y) in RR^n\timesRR^n , d(x,y)=||x||+||y||$ sia una metrica su $RR^n$

Temo che non lo sia (ad esempio, non soddisfa la proprietà di annullamento).[/quote]
E' la stessa cosa che ho pensato io Riegel! Ma me l'ha data il mio professore (Io studio Matematica) nel corso di Geometria 4...può mai essere che sia un suo errore?

[Vito L]

"Maci86":Quanto vale la distanza di $x$ da se stesso?

$||x||+||x||$ no?

[Maci86]

"Vito L":[quote="Maci86"]Quanto vale la distanza di $x$ da se stesso?

$||x||+||x||$ no?[/quote]
E questa ti sembra 0? Se non è così non è una metrica.

[Vito L]

Forse ho dimenticato un dettaglio però...può contare che $L(x)$, ovvero il sottospazio generato da $x$ sia diverso da quello generato da $y$ ?

[Maci86]

La questione è che quella ha tutta l'apparenza di essere molto poco metrica . In che contesto l'hanno introdotta? Forse cambiando il segno e mettendo un modulo le cose si sistemano, ma così direi di no

[s.stuv]

Ma sei certo che ti stiano definendo una metrica in \( \mathbb{R}^3 \) e non una norma in \( \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \)?

[Vito L]

"Maci86":La questione è che quella ha tutta l'apparenza di essere molto poco metrica . In che contesto l'hanno introdotta? Forse cambiando il segno e mettendo un modulo le cose si sistemano, ma così direi di no

Forse un errore del Prof Maci86 Grazie comunque delle risposte

[Vito L]

"s.stuv":Ma sei certo che ti stiano definendo una metrica in \( \mathbb{R}^3 \) e non una norma in \( \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \)?

s.stuv leggi bene la domanda

[s.stuv]

Ovviamente, ho scritto \( \mathbb{R}^3 \) intendendo \( \mathbb{R}^n \). E la domanda l'ho letta bene. Sta di fatto che quella non è evidentemente una metrica in \( \mathbb{R}^n \), giacché come ti hanno fatto notare un qualsiasi punto diverso dall'origine disterebbe così da se stesso per una quantità strettamente positiva. Quella è però una norma sul prodotto \( \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \) ovviamente equivalente alla norma euclidea di \( \mathbb{R}^{2n} \). Ecco perché avevo pensato che potessi aver frainteso le intenzioni del professore.

[Vito L]

"s.stuv":Quella è però una norma sul prodotto \( \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \) ovviamente equivalente alla norma euclidea di \( \mathbb{R}^{2n} \). Ecco perché avevo pensato che potessi aver frainteso le intenzioni del professore.

...Potresti spiegarti meglio?

[s.stuv]

Beh... normalmente lo spazio \( \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \) si riguarda come \( \mathbb{R}^{2n} \) con la norma euclidea standard
(1)
\[
|(x,y)|:= \bigg ( \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} + \sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2} \bigg )^{1/2}.
\]
D'altra parte, se \( X \) e \( Y \) sono due spazi vettoriali normati, allora la posizione
\[
\| (x,y) \|_{X \times Y} := \| x \|_{X} + \| y \|_{Y}
\]
definisce una norma sul prodotto cartesiano \( X \times Y \). Quindi, su \( \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \) uno può considerare la norma
\[
\|(x,y)\| = |x| + |y|,
\]
dove con \( |\cdot| \) ho denotato la norma euclidea di \( \mathbb{R}^n \). Ovviamente, questa norma è equivalente a quella definita nella (1), giacché in dimensione finita tutte le norme sono equivalenti.

[gugo82]

Ha ragione s.stuv.: il testo dell'esercizio non è corretto.
Sarebbe corretto se alla parola "metrica" si sostituisse la parola "norma".

Probabile errore del prof. oppure distrazione nel riportare il testo dell'esercizio.