Dimostrare che una serie limitata converge.

[pierooooo]

devo dimostrare che se una successione reale è convergente allora è limitata...

sugli appunti ho:

$EE n_0(1):n>=n_0$

$|x_n-l|<=1$

$|x_n|=|x_n-l+l|<=|x_n-l|+|l|=|l|+1$

ora scelgo

$M=|x_0|+|x_1|+...+|x_n_0|+|l|+1$

e ottengo

$|x_n|<=M$

quello che non ho capito è:

perche prende $epsilon=1$
perche sceglie M in quel modo (cioè, questo credo di averlo capito, ma non sono sicuro... visto che m è un numero grande a piacere piu grande della successione)

in sostanza avrei potuto fare la dimostrazione sostituendo 1 con epsilon

$EE n_0(1):n>=n_0$

$|x_n-l|<=epsilon$

$|x_n|=|x_n-l+l|<=|x_n-l|+|l|=|l|+epsilon$

ora scelgo

$M=|x_0|+|x_1|+...+|x_n_0|+|l|+epsilon$

e ottengo

$|x_n|<=M$

[yellow2]

Sì, puoi farlo con $epsilon$ non specificato ma non è necessario e forse rende meno l'idea. Sceglie $1$ ma poteva scegliere $1/2$ o $10$: l'importante è sapere che da un certo punto in poi nessun termine si allontana a suo piacimento dal limite, e quindi anche da $0$ (puoi pensare il modulo proprio come "distanza" da $0$). Inoltre i termini prima sono un numero limitato e quindi si controllano facilmente: in questo caso non si è voluti andare per il sottile e per sicurezza si è usato il fatto che ognuno di essi è minore a uguale in modulo alla somma di tutti i loro moduli!
Comunque il titolo del topic che c'entra con il contenuto ?